Как можно решить уравнение X2 - 8X + Y2 + 4Y + Z2 + 2Z - 43 = 0?

Математика 11 класс Квадратные уравнения и системы уравнений уравнение решение уравнения математика 11 класс алгебра Квадратные уравнения система уравнений аналитическая геометрия Новый

Для решения уравнения X2 - 8X + Y2 + 4Y + Z2 + 2Z - 43 = 0, мы можем преобразовать его, сгруппировав и упростив каждую переменную. Начнем с того, что у нас есть три переменные: X, Y и Z. Мы будем использовать метод выделения полного квадрата.

1. Работаем с переменной X:
   • У нас есть выражение X2 - 8X. Чтобы выделить полный квадрат, добавим и вычтем (8/2)² = 16:
   • X2 - 8X = (X - 4)² - 16.
2. Работаем с переменной Y:
   • У нас есть выражение Y2 + 4Y. Чтобы выделить полный квадрат, добавим и вычтем (4/2)² = 4:
   • Y2 + 4Y = (Y + 2)² - 4.
3. Работаем с переменной Z:
   • У нас есть выражение Z2 + 2Z. Чтобы выделить полный квадрат, добавим и вычтем (2/2)² = 1:
   • Z2 + 2Z = (Z + 1)² - 1.

Теперь подставим все преобразования обратно в уравнение:

(X - 4)² - 16 + (Y + 2)² - 4 + (Z + 1)² - 1 - 43 = 0.

Упростим это уравнение:

(X - 4)² + (Y + 2)² + (Z + 1)² - 64 = 0.

Теперь перенесем 64 на правую сторону:

(X - 4)² + (Y + 2)² + (Z + 1)² = 64.

Это уравнение представляет собой уравнение сферы с центром в точке (4, -2, -1) и радиусом 8 (так как 8² = 64).

Таким образом, решение уравнения X2 - 8X + Y2 + 4Y + Z2 + 2Z - 43 = 0 описывает все точки (X, Y, Z), которые находятся на поверхности сферы с центром (4, -2, -1) и радиусом 8.