Чтобы найти уравнение касательной к графику функции f(x) = x^2 + 2x + 1 в точке x0 = 1, необходимо выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

1. Найдем значение функции в точке x0:
   • Подставим x0 = 1 в функцию f(x):
   • f(1) = (1)^2 + 2*(1) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4.
   • Таким образом, точка касания имеет координаты (1, 4).
2. Найдем производную функции:
   • Производная f(x) = x^2 + 2x + 1 будет f'(x) = 2x + 2.
3. Вычислим значение производной в точке x0:
   • Подставим x0 = 1 в производную:
   • f'(1) = 2*(1) + 2 = 2 + 2 = 4.
   • Это значение производной в точке x0 = 1 означает, что угловой коэффициент касательной равен 4.
4. Запишем уравнение касательной:
   • Уравнение касательной можно записать в виде: y - y0 = k * (x - x0),где k - угловой коэффициент, (x0, y0) - точка касания.
   • Подставим известные значения:
   • y - 4 = 4 * (x - 1).
   • Упростим это уравнение:
   • y - 4 = 4x - 4.
   • y = 4x.

Таким образом, уравнение касательной к графику функции f(x) = x^2 + 2x + 1 в точке x0 = 1 будет y = 4x.