Как можно сформулировать уравнение касательной к плоскости и нормали к поверхности √(4+х²+y²) в точке (3;6;7)?

Математика 11 класс Уравнения касательной и нормали к поверхности Уравнение касательной нормаль к поверхности математика 11 класс касательная к плоскости точка на поверхности Новый

Чтобы сформулировать уравнение касательной к плоскости и нормали к поверхности, заданной функцией z = √(4 + x² + y²), в точке (3, 6, 7), нам нужно выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Найдем частные производные функции z.

Сначала определим частные производные функции z по x и y:

• ∂z/∂x = (1/2)(4 + x² + y²)^(-1/2) * (2x) = x / √(4 + x² + y²)
• ∂z/∂y = (1/2)(4 + x² + y²)^(-1/2) * (2y) = y / √(4 + x² + y²)

Шаг 2: Подставим координаты точки (3, 6) в частные производные.

Теперь посчитаем значения частных производных в точке (3, 6):

• ∂z/∂x в точке (3, 6):
  • ∂z/∂x = 3 / √(4 + 3² + 6²) = 3 / √(4 + 9 + 36) = 3 / √49 = 3 / 7
• ∂z/∂y в точке (3, 6):
  • ∂z/∂y = 6 / √(4 + 3² + 6²) = 6 / √(49) = 6 / 7

Шаг 3: Составим уравнение касательной плоскости.

Уравнение касательной плоскости имеет вид:

z - z0 = (∂z/∂x)(x - x0) + (∂z/∂y)(y - y0),

где (x0, y0, z0) - это точка касания, в нашем случае (3, 6, 7).

Подставим найденные значения:

z - 7 = (3/7)(x - 3) + (6/7)(y - 6).

Шаг 4: Упростим уравнение касательной плоскости.

Теперь упростим это уравнение:

• z - 7 = (3/7)x - (9/7) + (6/7)y - (36/7)
• z = (3/7)x + (6/7)y - (9/7 + 36/7) + 7
• z = (3/7)x + (6/7)y - 45/7 + 49/7
• z = (3/7)x + (6/7)y + 4/7.

Шаг 5: Уравнение нормали к поверхности.

Уравнение нормали можно записать в виде:

(x - x0) / (∂z/∂x) = (y - y0) / (∂z/∂y) = (z - z0) / (-1).

Подставим значения:

(x - 3) / (3/7) = (y - 6) / (6/7) = (z - 7) / (-1).

Шаг 6: Упростим уравнение нормали.

Умножим все части на 7 для удобства:

• 7(x - 3) / 3 = 7(y - 6) / 6 = -7(z - 7).

Таким образом, у нас есть уравнение касательной плоскости:

z = (3/7)x + (6/7)y + 4/7

и уравнение нормали:

7(x - 3) / 3 = 7(y - 6) / 6 = -7(z - 7).

Эти уравнения описывают касательную плоскость и нормаль к заданной поверхности в указанной точке.