Как можно составить уравнение эллипса, если его фокусы расположены на оси Ох, расстояние между фокусами равно 16, а эксцентриситет составляет 1/2?

Математика 11 класс Уравнения кривых второго порядка уравнение эллипса фокусы на оси ОХ расстояние между фокусами эксцентриситет 1/2 математика 11 класс Новый

Чтобы составить уравнение эллипса, нам нужно знать его основные параметры: координаты фокусов, расстояние между ними и эксцентриситет.

1. **Определим координаты фокусов**. Поскольку фокусы расположены на оси Ох и расстояние между ними равно 16, это означает, что расстояние от центра эллипса до каждого фокуса (c) составляет 8. Если обозначить центр эллипса как (0, 0), то фокусы будут находиться в точках (-8, 0) и (8, 0).

2. **Найдем эксцентриситет (e)**. Дано, что эксцентриситет эллипса равен 1/2. Эксцентриситет связан с фокусным расстоянием и полуосью (a) следующим образом:

• e = c/a

Где c — расстояние от центра до фокуса, а a — длина полуоси. Мы уже знаем, что c = 8.

3. **Подставим известные значения в формулу**:

• 1/2 = 8/a

Теперь решим это уравнение относительно a:

• a = 8 / (1/2) = 16.

4. **Найдем длину полуоси b**. Мы знаем, что для эллипса выполняется соотношение:

• c² = a² - b²

Подставим известные значения:

• 8² = 16² - b²
• 64 = 256 - b²
• b² = 256 - 64 = 192.

Таким образом, b = √192 = 8√3.

5. **Теперь мы можем записать уравнение эллипса**. Уравнение эллипса, расположенного по центру в начале координат и с осями, совпадающими с осями координат, имеет вид:

• (x²/a²) + (y²/b²) = 1.

Подставим значения a и b:

• (x²/16²) + (y²/(8√3)²) = 1
• (x²/256) + (y²/192) = 1.

Таким образом, уравнение эллипса, фокусы которого расположены на оси Ох, расстояние между фокусами равно 16, а эксцентриситет составляет 1/2, будет выглядеть так:

(x²/256) + (y²/192) = 1