Как можно составить уравнение касательной и нормали к параболе y=x^2-7x+10 в точке x=4?

Математика 11 класс Уравнения касательной и нормали к кривым Уравнение касательной уравнение нормали парабола точка x=4 математика 11 класс Новый

Чтобы составить уравнение касательной и нормали к параболе y = x^2 - 7x + 10 в точке x = 4, необходимо выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Найти координаты точки касания.

Для начала нужно найти значение функции в точке x = 4:

y(4) = 4^2 - 7*4 + 10.

Теперь вычислим это:

• 4^2 = 16
• -7*4 = -28
• 16 - 28 + 10 = -2

Таким образом, координаты точки касания: (4, -2).

Шаг 2: Найти производную функции.

Для нахождения углового коэффициента касательной необходимо вычислить производную функции:

y' = 2x - 7.

Теперь подставим x = 4 в производную:

y'(4) = 2*4 - 7 = 8 - 7 = 1.

Угловой коэффициент касательной в точке x = 4 равен 1.

Шаг 3: Составить уравнение касательной.

Уравнение касательной можно записать в виде:

y - y0 = k(x - x0),

где (x0, y0) - координаты точки касания, а k - угловой коэффициент.

Подставляем известные значения:

y - (-2) = 1(x - 4).

Упрощаем уравнение:

y + 2 = x - 4.

Таким образом, уравнение касательной:

y = x - 6.

Шаг 4: Составить уравнение нормали.

Угловой коэффициент нормали равен отрицательному обратному значению углового коэффициента касательной. Поскольку угловой коэффициент касательной равен 1, то угловой коэффициент нормали будет равен -1.

Теперь используем ту же формулу для уравнения нормали:

y - y0 = k(x - x0),

где k = -1:

y - (-2) = -1(x - 4).

Упрощаем уравнение:

y + 2 = -x + 4.

Таким образом, уравнение нормали:

y = -x + 2.

Итак, в итоге мы получили:

• Уравнение касательной: y = x - 6.
• Уравнение нормали: y = -x + 2.