Как можно составить уравнение касательной к параболе у=2x^2 - 12x + 20 в точке, где x=4?

Или: Как найти неопределённый интеграл ∫ (tg(2x) / cos²(x)) dx?

Спасибо большое.

Математика 11 класс Уравнения касательных и неопределённые интегралы Уравнение касательной парабола x=4 неопределенный интеграл tg(2x) cos²(x) математика 11 класс Новый

Давайте разберем оба вопроса по порядку. Начнем с уравнения касательной к параболе.

1. Уравнение касательной к параболе:

Парабола задана уравнением: у = 2x^2 - 12x + 20. Чтобы найти уравнение касательной в точке, где x = 4, нам нужно выполнить несколько шагов:

1. Найти координаты точки касания: Подставим x = 4 в уравнение параболы, чтобы найти y.
2. y = 2(4)^2 - 12(4) + 20 = 2(16) - 48 + 20 = 32 - 48 + 20 = 4.
3. Таким образом, точка касания имеет координаты (4, 4).
4. Найти производную функции: Производная укажет на наклон касательной. Найдем производную функции у:
5. у' = d(2x^2 - 12x + 20)/dx = 4x - 12.
6. Подставить x = 4 в производную: Найдем угловой коэффициент касательной в точке x = 4.
7. у'(4) = 4(4) - 12 = 16 - 12 = 4.
8. Записать уравнение касательной: Уравнение касательной можно записать в виде y - y0 = m(x - x0), где (x0, y0) - точка касания, а m - угловой коэффициент.
9. Подставим известные значения: y - 4 = 4(x - 4).
10. Упростим уравнение: y - 4 = 4x - 16, или y = 4x - 12.

Таким образом, уравнение касательной к параболе у = 2x^2 - 12x + 20 в точке, где x = 4, имеет вид: y = 4x - 12.

2. Неопределённый интеграл:

Теперь давайте перейдем ко второму вопросу — нахождению неопределённого интеграла ∫ (tg(2x) / cos²(x)) dx.

Для решения этого интеграла воспользуемся заменой переменной и свойствами тригонометрических функций:

1. Вспомним, что tg(2x) = sin(2x) / cos(2x).
2. Также помним, что производная cos(x) равна -sin(x), а производная tg(x) равна 1/cos²(x).
3. Запишем интеграл: ∫ (tg(2x) / cos²(x)) dx = ∫ (sin(2x) / (cos(2x) * cos²(x))) dx.
4. Используем замену: Пусть u = cos(x), тогда du = -sin(x) dx, и dx = -du/sin(x).
5. Таким образом, интеграл преобразуется: ∫ (tg(2x) / cos²(x)) dx = -∫ (sin(2x) / (u² * u)) du, где u = cos(x).
6. Теперь нужно выразить sin(2x) через u: sin(2x) = 2sin(x)cos(x) = 2√(1 - u²)u.
7. Интеграл теперь можно выразить через u: -∫ (2√(1 - u²)u / u³) du = -2∫ (√(1 - u²) / u²) du.

Этот интеграл можно решить с помощью стандартных методов, например, через подстановку или таблицы интегралов.

Таким образом, мы нашли уравнение касательной и начали решать неопределённый интеграл. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!