Как можно вычислить объем и площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, если высота этой пирамиды равна √3 (корень из 3), а угол при вершине составляет 30° (30 градусов)?

Математика 11 класс Объем и площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды объём правильной четырёхугольной пирамиды площадь боковой поверхности пирамиды высота пирамиды угол при вершине 30 градусов вычисление объема и площади математика 11 класс Новый

Чтобы вычислить объем и площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, нам нужно использовать несколько формул и свойства этой фигуры.

1. Объем пирамиды:

Объем V правильной пирамиды можно вычислить по формуле:

V = (1/3) * S_основание * h,

где S_основание - площадь основания, h - высота пирамиды.

В нашем случае основание является квадратом. Площадь квадрата можно выразить через сторону a:

S_основание = a^2.

Теперь, чтобы найти сторону a, нам нужно использовать угол при вершине. Угол при вершине равен 30°, и высота h равна √3. Мы можем воспользоваться тригонометрией.

2. Находим сторону основания:

Для правильной четырехугольной пирамиды высота h, угол при вершине α и радиус вписанной окружности R связаны следующим образом:

h = R * tan(α/2).

Где R - это половина стороны основания квадрата:

R = a / 2.

Подставляем в формулу:

√3 = (a / 2) * tan(30°).

Зная, что tan(30°) = 1/√3, мы можем подставить это значение:

√3 = (a / 2) * (1/√3).

Теперь умножим обе стороны на 2√3:

2 * 3 = a.

Таким образом, a = 6.

3. Площадь основания:

Теперь можем найти площадь основания:

S_основание = a^2 = 6^2 = 36.

4. Находим объем:

Теперь подставим значение в формулу для объема:

V = (1/3) * S_основание * h = (1/3) * 36 * √3 = 12√3.

5. Площадь боковой поверхности:

Площадь боковой поверхности S_бок. можно вычислить по формуле:

S_бок. = (1/2) * периметр основания * slant height,

где slant height (наклонная высота) можно найти с помощью тригонометрии.

Периметр основания квадрата:

Периметр = 4a = 4 * 6 = 24.

Теперь найдем наклонную высоту. Она связана с высотой и радиусом окружности:

slant height = √(h^2 + (R)^2) = √(√3^2 + (6/2)^2) = √(3 + 9) = √12 = 2√3.

Теперь подставим в формулу для площади боковой поверхности:

S_бок. = (1/2) * 24 * 2√3 = 24√3.

Итак, окончательные результаты:

• Объем пирамиды: V = 12√3.
• Площадь боковой поверхности: S_бок. = 24√3.