Как можно вычислить производную для элементарных функций?

II Уровень:

• а) y = (2x^2 + 6)(x + 3)
• б) y = 5 * 2 * x^(-2) + 3.4 * x^2 - 6 * √x^3

III Уровень:

• а) y = (x^2 - 4x) / (x^3 - 2)
• б) y = 7 * √x + 3 * (5x * √x - 6 * √(x^3) - π)

Выберите второй или третий уровень (если выполните третий, поставлю 5 звезд).

Математика 11 класс Производная элементарных функций вычисление производной элементарные функции уровень II уровень III математика 11 класс Новый

Давайте решим задачи третьего уровня. Мы будем вычислять производные для следующих функций:

а) y = (x^2 - 4x) / (x^3 - 2)
б) y = 7 √x + 3 (5x √x - 6 √(x^3) - π)

Задача 1: y = (x^2 - 4x) / (x^3 - 2)

Для нахождения производной дробной функции мы будем использовать правило дифференцирования дроби, которое выглядит следующим образом:

Если y = u/v, то y' = (u'v - uv') / v^2,

где u = x^2 - 4x и v = x^3 - 2.

1. Находим u' и v':

   • u' = (x^2 - 4x)' = 2x - 4
   • v' = (x^3 - 2)' = 3x^2

2. Подставляем в формулу: y' = ((2x - 4)(x^3 - 2) - (x^2 - 4x)(3x^2)) / (x^3 - 2)^2

3. Упрощаем числитель:

   • Раскроем скобки: (2x - 4)(x^3 - 2) = 2x^4 - 4x^3 - 4 + 8 = 2x^4 - 4x^3 + 4
   • Умножаем (x^2 - 4x) на 3x^2: (x^2 - 4x)(3x^2) = 3x^4 - 12x^3

4. Теперь подставим в окончательную формулу: y' = (2x^4 - 4x^3 + 4 - (3x^4 - 12x^3)) / (x^3 - 2)^2 = (-x^4 + 8x^3 + 4) / (x^3 - 2)^2

Таким образом, производная функции y = (x^2 - 4x) / (x^3 - 2) равна: y' = (-x^4 + 8x^3 + 4) / (x^3 - 2)^2.

Задача 2: y = 7 √x + 3 (5x √x - 6 √(x^3) - π)

1. Упростим функцию:
   • √x можно выразить как x^(1/2).
   • √(x^3) = x^(3/2).

Таким образом, мы можем записать функцию в следующем виде: y = 7 x^(1/2) + 3 (5x x^(1/2) - 6 x^(3/2) - π).

2. Упростим: y = 7 x^(1/2) + 3 (5x^(3/2) - 6x^(3/2) - 3π) = 7 x^(1/2) + 3 (-x^(3/2) - π).

3. Теперь найдем производную:

   • y' = (7 (1/2)x^(-1/2)) + 3 (- (3/2)x^(1/2)) = (7/2)x^(-1/2) - (9/2)x^(1/2).

4. Приведем к общему виду: y' = (7/2) (1/√x) - (9/2) √x.

Таким образом, производная функции y = 7 √x + 3 (5x √x - 6 √(x^3) - π) равна: y' = (7/2√x) - (9/2)√x.

Теперь у вас есть производные для обеих функций! Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно объяснить что-то еще, не стесняйтесь спрашивать!