Чтобы вычислить пятнадцатую производную функции f(x) = x * sin(2x) с использованием формулы Лейбница, нам нужно вспомнить, что формула Лейбница для n-ой производной произведения двух функций g(x) и h(x) выглядит следующим образом:

(g * h)^(n) = Σ (k=0 to n) (C(n, k) * g^(k) * h^(n-k))

Здесь C(n, k) – это биномиальный коэффициент, g^(k) – k-ая производная функции g, а h^(n-k) – (n-k)-ая производная функции h.

В нашем случае:

• g(x) = x,
• h(x) = sin(2x).

Теперь нам нужно вычислить производные g(x) и h(x):

1. Производные g(x):
• g'(x) = 1,
• g''(x) = 0,
• g^(k)(x) = 0 для всех k ≥ 2.
2. Производные h(x):
• h'(x) = 2cos(2x),
• h''(x) = -4sin(2x),
• h'''(x) = -8cos(2x),
• h^(4)(x) = 16sin(2x),
• h^(5)(x) = 32cos(2x),
• h^(6)(x) = -64sin(2x),
• h^(7)(x) = -128cos(2x),
• h^(8)(x) = 256sin(2x),
• h^(9)(x) = 512cos(2x),
• h^(10)(x) = -1024sin(2x),
• h^(11)(x) = -2048cos(2x),
• h^(12)(x) = 4096sin(2x),
• h^(13)(x) = 8192cos(2x),
• h^(14)(x) = -16384sin(2x),
• h^(15)(x) = -32768cos(2x).

Теперь мы можем использовать формулу Лейбница для вычисления пятнадцатой производной:

f^(15)(x) = Σ (k=0 to 15) (C(15, k) * g^(k)(x) * h^(15-k)(x))

Поскольку g^(k)(x) = 0 для всех k ≥ 2, то единственные ненулевые слагаемые в сумме будут при k = 0 и k = 1:

1. При k = 0: g^(0)(x) = x, h^(15)(x) = -32768cos(2x), и C(15, 0) = 1.
2. При k = 1: g^(1)(x) = 1, h^(14)(x) = -16384sin(2x), и C(15, 1) = 15.

Теперь подставим эти значения:

f^(15)(x) = 1 * (-32768cos(2x)) + 15 * (1 * -16384sin(2x))

Упрощаем:

f^(15)(x) = -32768cos(2x) - 245760sin(2x).

Таким образом, пятнадцатая производная функции f(x) = x * sin(2x) равна:

f^(15)(x) = -32768cos(2x) - 245760sin(2x).