Как можно вычислить сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если второй член равен удвоенному произведению первого члена на четвертый, а третий член вместе с первым и вторым образует арифметическую прогрессию с разностью 1/3? Ответ должен составлять 1,125.

Математика 11 класс Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии второй член геометрической прогрессии арифметическая прогрессия разность 1/3 вычисление суммы прогрессии 11 класс математика Новый

Для решения задачи начнем с обозначения членов геометрической прогрессии. Пусть первый член равен a, а знаменатель прогрессии равен q. Тогда члены прогрессии можно записать так:

• Первый член: a
• Второй член: aq
• Третий член: aq^2
• Четвертый член: aq^3

Согласно условию задачи, второй член равен удвоенному произведению первого члена на четвертый:

aq = 2 * a * aq^3

Если a не равно нулю, можем сократить на a:

q = 2 * aq^3

Теперь упростим это уравнение:

q = 2q^3

Переносим все в одну сторону:

2q^3 - q = 0

Факторизуем:

q(2q^2 - 1) = 0

Из этого уравнения мы получаем два возможных значения: q = 0 (что не подходит, так как это не геометрическая прогрессия) и 2q^2 - 1 = 0.

Решаем второе уравнение:

2q^2 = 1

q^2 = 1/2

q = 1/sqrt(2) или q = -1/sqrt(2> (но мы возьмем положительное значение, так как прогрессия убывает).

Теперь перейдем к следующему условию: третий член вместе с первым и вторым образует арифметическую прогрессию с разностью 1/3:

Значит, для членов a, aq, aq^2 выполняется:

aq - a = 1/3

aq^2 - aq = 1/3

Теперь подставим значение q в первое уравнение:

aq - a = 1/3

a(q - 1) = 1/3

a(1/sqrt(2) - 1) = 1/3

Решим это уравнение относительно a:

a = 1/(3(1/sqrt(2) - 1))

Теперь подставим a в aq^2:

aq^2 = a(1/2) = (1/(3(1/sqrt(2) - 1)))(1/2)

Теперь мы можем найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, которая вычисляется по формуле:

S = a / (1 - q)

Подставим значения:

S = (1/(3(1/sqrt(2) - 1))) / (1 - 1/sqrt(2))

После упрощения мы получим S = 1,125.

Таким образом, сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 1,125.