Как можно вычислить выборочную среднюю и выборочную дисперсию для данного распределения выборки: xi: 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50, 52, 54, 56 и ni: 2, 4, 10, 18, 26, 35, 27, 18, 9, 6?

Математика 11 класс Статистика. Выборочные характеристики выборочная средняя выборочная дисперсия распределение выборки статистика математика 11 класс Новый

Чтобы вычислить выборочную среднюю и выборочную дисперсию для данной выборки, следуем следующим шагам:

Шаг 1: Вычисление выборочной средней

Выборочная средняя (x̄) рассчитывается по формуле:

x̄ = (Σ(xi * ni)) / N

где:

• xi - значения выборки,
• ni - частоты (количество наблюдений для каждого значения),
• N - общее количество наблюдений (сумма частот).

Сначала найдем общее количество наблюдений N:

N = 2 + 4 + 10 + 18 + 26 + 35 + 27 + 18 + 9 + 6 = 155

Теперь вычислим Σ(xi * ni):

• 38 * 2 = 76
• 40 * 4 = 160
• 42 * 10 = 420
• 44 * 18 = 792
• 46 * 26 = 1196
• 48 * 35 = 1680
• 50 * 27 = 1350
• 52 * 18 = 936
• 54 * 9 = 486
• 56 * 6 = 336

Теперь суммируем все произведения:

Σ(xi * ni) = 76 + 160 + 420 + 792 + 1196 + 1680 + 1350 + 936 + 486 + 336 = 6056

Теперь подставим значения в формулу для выборочной средней:

x̄ = 6056 / 155 ≈ 39.0

Шаг 2: Вычисление выборочной дисперсии

Выборочная дисперсия (S²) рассчитывается по формуле:

S² = (Σ(ni * (xi - x̄)²)) / (N - 1)

Сначала вычислим (xi - x̄)² для каждого значения:

• (38 - 39.0)² = 1.0
• (40 - 39.0)² = 1.0
• (42 - 39.0)² = 9.0
• (44 - 39.0)² = 25.0
• (46 - 39.0)² = 49.0
• (48 - 39.0)² = 81.0
• (50 - 39.0)² = 121.0
• (52 - 39.0)² = 169.0
• (54 - 39.0)² = 225.0
• (56 - 39.0)² = 289.0

Теперь умножим каждое значение (xi - x̄)² на соответствующее ni:

• 1.0 * 2 = 2.0
• 1.0 * 4 = 4.0
• 9.0 * 10 = 90.0
• 25.0 * 18 = 450.0
• 49.0 * 26 = 1274.0
• 81.0 * 35 = 2835.0
• 121.0 * 27 = 3267.0
• 169.0 * 18 = 3042.0
• 225.0 * 9 = 2025.0
• 289.0 * 6 = 1734.0

Теперь суммируем все произведения:

Σ(ni * (xi - x̄)²) = 2.0 + 4.0 + 90.0 + 450.0 + 1274.0 + 2835.0 + 3267.0 + 3042.0 + 2025.0 + 1734.0 = 12200.0

Теперь подставим значения в формулу для выборочной дисперсии:

S² = 12200 / (155 - 1) = 12200 / 154 ≈ 79.22

Итак, результаты:

• Выборочная средняя (x̄) ≈ 39.0
• Выборочная дисперсия (S²) ≈ 79.22