Как написать уравнение касательных к гиперболе (x^2)/3 - (y^2)/2 = 1, которые будут параллельны прямой x - y - 5 = 0?

Математика 11 класс Касательные к кривым второго порядка уравнение касательных гипербола параллельные прямой 11 класс математика решение задач по математике Новый

Чтобы найти уравнения касательных к гиперболе (x^2)/3 - (y^2)/2 = 1, которые параллельны прямой x - y - 5 = 0, нам нужно следовать нескольким шагам.

1. **Определим наклон прямой**: Прямая x - y - 5 = 0 может быть записана в виде y = x - 5. Это означает, что наклон этой прямой равен 1.

2. **Запишем уравнение касательной к гиперболе**: Уравнение касательной к гиперболе в точке (x0, y0) имеет вид:

(x0^2)/3 - (y0^2)/2 = 1

и касательная будет иметь вид:

y - y0 = m(x - x0)

где m - наклон касательной. В нашем случае m = 1.

3. **Подставим наклон в уравнение касательной**: Получаем:

y - y0 = 1(x - x0)

или

y = x - x0 + y0

4. **Теперь подставим y0 в уравнение гиперболы**: Мы знаем, что точка касания (x0, y0) должна удовлетворять уравнению гиперболы:

(x0^2)/3 - (y0^2)/2 = 1

5. **Подставим y0 из уравнения касательной в уравнение гиперболы**: Заменим y0:

• y0 = x0 - x0 + y0 = y0
• y0 = x0 - x0 + y0 = x0 - 5

Теперь у нас есть:

(x0^2)/3 - ((x0 - 5)^2)/2 = 1

6. **Решим это уравнение**: Раскроем скобки и упростим:

(x0^2)/3 - ((x0^2 - 10x0 + 25)/2) = 1

Умножим на 6, чтобы избавиться от дробей:

2x0^2 - 3(x0^2 - 10x0 + 25) = 6

Раскроем скобки:

2x0^2 - 3x0^2 + 30x0 - 75 = 6

Соберем все в одну сторону:

-x0^2 + 30x0 - 81 = 0

7. **Решим квадратное уравнение**: Умножим на -1:

x0^2 - 30x0 + 81 = 0

Теперь найдем дискриминант:

D = b^2 - 4ac = 30^2 - 4*1*81 = 900 - 324 = 576

Дискриминант положительный, значит, уравнение имеет два корня:

x0 = (30 ± √576)/2 = (30 ± 24)/2

Корни:

• x0 = (54)/2 = 27
• x0 = (6)/2 = 3

8. **Найдем соответствующие y0 для x0**:

• Для x0 = 27: y0 = 27 - 5 = 22
• Для x0 = 3: y0 = 3 - 5 = -2

9. **Запишем уравнения касательных**:

• Для точки (27, 22): y - 22 = 1(x - 27) или y = x - 5
• Для точки (3, -2): y + 2 = 1(x - 3) или y = x - 5

Таким образом, уравнения касательных к гиперболе, которые параллельны прямой x - y - 5 = 0, будут:

• y = x - 5
• y = x - 5