Как написать уравнение плоскости, проходящей через точки P(1, 1, -1) и Q(5, -2, 1), и перпендикулярной к заданной плоскости x + 2y - 5z - 10=0?

И еще одно задание: Как найти производную функции u в точке M по направлению, идущему от этой точки к точке P, если u = xz/y3 + xz2y3 + yz2; M(2, -1, 2); P(10, -5, 3)?

Математика 11 класс Геометрия и анализ функций уравнение плоскости точки P и Q перпендикулярная плоскость производная функции направление от точки M к P математические задачи Новый

Давайте разберем оба задания по порядку.

Задание 1: Написать уравнение плоскости, проходящей через точки P(1, 1, -1) и Q(5, -2, 1), и перпендикулярной к заданной плоскости x + 2y - 5z - 10 = 0.

1. Определим нормальный вектор заданной плоскости. Для плоскости x + 2y - 5z - 10 = 0 нормальный вектор можно взять из коэффициентов при x, y и z. Он будет равен N1 = (1, 2, -5).
2. Найдем вектор, соединяющий точки P и Q. Этот вектор можно найти по формуле: V = Q - P. Подставляем координаты:
   • V = (5 - 1, -2 - 1, 1 - (-1)) = (4, -3, 2).
3. Найдем нормальный вектор искомой плоскости. Плоскость, которую мы ищем, перпендикулярна к заданной плоскости и содержит вектор V. Нормальный вектор искомой плоскости будет равен произведению векторов N1 и V (векторное произведение). Найдем его:
   • N2 = N1 x V = (1, 2, -5) x (4, -3, 2).
   • Вычисляем детерминант:
   • N2 = | i j k |
   • | 1 2 -5 |
   • | 4 -3 2 |
   • = i(2*2 - (-5)*(-3)) - j(1*2 - (-5)*4) + k(1*(-3) - 2*4)
   • = i(4 - 15) - j(2 + 20) + k(-3 - 8)
   • = i(-11) - j(22) + k(-11) = (-11, -22, -11).
4. Запишем уравнение плоскости. Уравнение плоскости имеет вид: A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0, где (A, B, C) - координаты нормального вектора, а (x0, y0, z0) - координаты точки, через которую проходит плоскость. Подставляем:
   • A = -11, B = -22, C = -11, (x0, y0, z0) = (1, 1, -1).
   • -11(x - 1) - 22(y - 1) - 11(z + 1) = 0.
   • Раскрываем скобки и упрощаем:
   • -11x + 11 - 22y + 22 - 11z - 11 = 0.
   • Итак, уравнение плоскости: -11x - 22y - 11z + 22 = 0.

Задание 2: Найти производную функции u в точке M по направлению, идущему от этой точки к точке P, если u = xz/y^3 + xz^2y^3 + yz^2; M(2, -1, 2); P(10, -5, 3).

1. Сначала найдем вектор направления. Вектор направления D от точки M к точке P равен:
   • D = P - M = (10 - 2, -5 - (-1), 3 - 2) = (8, -4, 1).
2. Нормализуем вектор D. Для этого найдем его длину:
   • |D| = sqrt(8^2 + (-4)^2 + 1^2) = sqrt(64 + 16 + 1) = sqrt(81) = 9.
   • Нормализованный вектор D' = D / |D| = (8/9, -4/9, 1/9).
3. Теперь найдем частные производные функции u. Вычислим частные производные u по x, y и z:
   • ∂u/∂x = z/y^3 + z^2y^3,
   • ∂u/∂y = -3xz/y^4 + z^2y^2,
   • ∂u/∂z = x/y^3 + 2xy^3.
4. Подставим координаты точки M(2, -1, 2) в частные производные:
   • ∂u/∂x = 2/(-1)^3 + 2^2*(-1)^3 = -2 + -4 = -6,
   • ∂u/∂y = -3*2*2/(-1)^4 + 2^2*(-1)^2 = -12 + 4 = -8,
   • ∂u/∂z = 2/(-1)^3 + 2*2^3 = -2 + 16 = 14.
5. Теперь найдем градиент функции u в точке M:
   • ∇u = (∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂u/∂z) = (-6, -8, 14).
6. Теперь вычислим производную функции u по направлению D'. Для этого используем формулу:
   • Du = ∇u • D' = (-6, -8, 14) • (8/9, -4/9, 1/9).
   • Du = -6*(8/9) + (-8)*(-4/9) + 14*(1/9) = -48/9 + 32/9 + 14/9 = -2.

Таким образом, производная функции u в точке M по направлению к точке P равна -2.