Как найти частные производные первого порядка для функции z=x/y+y/x и как вычислить дифференциал второго порядка для функции нескольких переменных z=(5x^2 * y-y^3+7)^3? Пожалуйста, объясните это понятнее.

Математика 11 класс Частные производные и дифференциалы функций нескольких переменных частные производные производные первого порядка дифференциал второго порядка функции нескольких переменных математика 11 класс Новый

Давайте разберем оба ваших вопроса по порядку.

1. Нахождение частных производных первого порядка для функции z = x/y + y/x.

Частные производные функции z по переменным x и y обозначаются как ∂z/∂x и ∂z/∂y соответственно. Мы будем находить их по отдельности.

• Частная производная z по x (∂z/∂x):
1. Запишем функцию: z = x/y + y/x.
2. Теперь найдем производную первого слагаемого (x/y):
• Это можно записать как (1/y), так как y считается константой при дифференцировании по x.
3. Теперь найдем производную второго слагаемого (y/x):
• Это слагаемое можно записать как y * (1/x), и тогда его производная будет -y/(x^2).
4. Теперь объединяем результаты:
• ∂z/∂x = 1/y - y/(x^2).
5. Частная производная z по y (∂z/∂y):
1. Снова запишем функцию: z = x/y + y/x.
2. Теперь найдем производную первого слагаемого (x/y):
• Это можно записать как x * (1/y), и тогда его производная будет -x/(y^2).
3. Теперь найдем производную второго слагаемого (y/x):
• Это слагаемое можно записать как (1/x) * y, и тогда его производная будет 1/x.
4. Теперь объединяем результаты:
• ∂z/∂y = -x/(y^2) + 1/x.

Таким образом, частные производные первого порядка для функции z = x/y + y/x равны:

• ∂z/∂x = 1/y - y/(x^2),
• ∂z/∂y = -x/(y^2) + 1/x.

2. Вычисление дифференциала второго порядка для функции z = (5x^2 * y - y^3 + 7)^3.

Чтобы найти дифференциал второго порядка, сначала найдем частные производные первого порядка, а затем частные производные второго порядка.

• Частные производные первого порядка:
1. Обозначим u = 5x^2 * y - y^3 + 7, тогда z = u^3.
2. Теперь найдем ∂z/∂x и ∂z/∂y:
• ∂z/∂x = 3u^2 * ∂u/∂x, где ∂u/∂x = 10xy.
• Таким образом, ∂z/∂x = 3(5x^2 * y - y^3 + 7)^2 * 10xy.
• ∂z/∂y = 3u^2 * ∂u/∂y, где ∂u/∂y = 5x^2 - 3y^2.
• Таким образом, ∂z/∂y = 3(5x^2 * y - y^3 + 7)^2 * (5x^2 - 3y^2).
3. Частные производные второго порядка:
1. Теперь найдем ∂²z/∂x² и ∂²z/∂y²:
• ∂²z/∂x² = ∂/∂x (∂z/∂x),
• ∂²z/∂y² = ∂/∂y (∂z/∂y).
2. Для этого нужно будет продифференцировать уже найденные частные производные по x и y соответственно, что может быть довольно громоздким.

Итак, мы нашли частные производные первого порядка и описали процесс нахождения частных производных второго порядка. Для окончательного ответа вам нужно будет самостоятельно продифференцировать уже найденные выражения.