Давайте разберем оба ваших вопроса по порядку.

1. Нахождение частных производных первого порядка для функции z = x/y + y/x.

Частные производные функции z по переменным x и y обозначаются как ∂z/∂x и ∂z/∂y соответственно. Мы будем находить их по отдельности.

• Частная производная z по x (∂z/∂x):
1. Запишем функцию: z = x/y + y/x.
2. Теперь найдем производную первого слагаемого (x/y):
• Это можно записать как (1/y),так как y считается константой при дифференцировании по x.
3. Теперь найдем производную второго слагаемого (y/x):
• Это слагаемое можно записать как y * (1/x),и тогда его производная будет -y/(x^2).
4. Теперь объединяем результаты:
• ∂z/∂x = 1/y - y/(x^2).
5. Частная производная z по y (∂z/∂y):
1. Снова запишем функцию: z = x/y + y/x.
2. Теперь найдем производную первого слагаемого (x/y):
• Это можно записать как x * (1/y),и тогда его производная будет -x/(y^2).
3. Теперь найдем производную второго слагаемого (y/x):
• Это слагаемое можно записать как (1/x) * y, и тогда его производная будет 1/x.
4. Теперь объединяем результаты:
• ∂z/∂y = -x/(y^2) + 1/x.

Таким образом, частные производные первого порядка для функции z = x/y + y/x равны:

• ∂z/∂x = 1/y - y/(x^2),
• ∂z/∂y = -x/(y^2) + 1/x.

2. Вычисление дифференциала второго порядка для функции z = (5x^2 * y - y^3 + 7)^3.

Чтобы найти дифференциал второго порядка, сначала найдем частные производные первого порядка, а затем частные производные второго порядка.

• Частные производные первого порядка:
1. Обозначим u = 5x^2 * y - y^3 + 7, тогда z = u^3.
2. Теперь найдем ∂z/∂x и ∂z/∂y:
• ∂z/∂x = 3u^2 * ∂u/∂x, где ∂u/∂x = 10xy.
• Таким образом, ∂z/∂x = 3(5x^2 * y - y^3 + 7)^2 * 10xy.
• ∂z/∂y = 3u^2 * ∂u/∂y, где ∂u/∂y = 5x^2 - 3y^2.
• Таким образом, ∂z/∂y = 3(5x^2 * y - y^3 + 7)^2 * (5x^2 - 3y^2).
3. Частные производные второго порядка:
1. Теперь найдем ∂²z/∂x² и ∂²z/∂y²:
• ∂²z/∂x² = ∂/∂x (∂z/∂x),
• ∂²z/∂y² = ∂/∂y (∂z/∂y).
2. Для этого нужно будет продифференцировать уже найденные частные производные по x и y соответственно, что может быть довольно громоздким.

Итак, мы нашли частные производные первого порядка и описали процесс нахождения частных производных второго порядка. Для окончательного ответа вам нужно будет самостоятельно продифференцировать уже найденные выражения.