Как найти экстремум функции двух переменных Z = xy - x² - y² + 9a, если a равно 9?

Математика 11 класс Экстремумы функций двух переменных экстремум функции функция двух переменных Z = xy - x² - y² + 9a математический анализ нахождение экстремума Новый

Для нахождения экстремумов функции двух переменных Z = xy - x² - y² + 9a, где a равно 9, мы сначала подставим значение a в функцию. Это даст нам:

Z = xy - x² - y² + 81

Теперь мы можем найти экстремумы этой функции, следуя следующим шагам:

1. Найдем частные производные функции по x и y:
• Частная производная по x: ∂Z/∂x = y - 2x
• Частная производная по y: ∂Z/∂y = x - 2y
2. Приравняем частные производные к нулю:
• y - 2x = 0
• x - 2y = 0
3. Решим систему уравнений:
• Из первого уравнения выразим y: y = 2x
• Подставим y во второе уравнение: x - 2(2x) = 0
• Это упрощается до: x - 4x = 0, что дает -3x = 0, отсюда x = 0.
• Теперь подставим x = 0 в первое уравнение: y = 2(0) = 0.
4. Мы нашли критическую точку: (0, 0).
5. Теперь проверим, является ли это точкой минимума или максимума, используя второй производный тест:
• Найдем вторые частные производные:
• ∂²Z/∂x² = -2
• ∂²Z/∂y² = -2
• ∂²Z/∂x∂y = 1
• Теперь вычислим D = ∂²Z/∂x² * ∂²Z/∂y² - (∂²Z/∂x∂y)²:
• D = (-2) * (-2) - (1)² = 4 - 1 = 3.
• Так как D > 0 и ∂²Z/∂x² < 0, то точка (0, 0) является максимумом.

Таким образом, мы нашли, что функция Z имеет максимум в точке (0, 0).