Как найти градиент функции a) grad z=f(x,y) в точке A(x,y)?

б) Как вычислить её производную AB?

При этом z=ln(2x+3y), A(2,2), B(-1,4).

Математика 11 класс Параметрические производные и градиент функции нескольких переменных градиент функции производная функции вычисление градиента z=ln(2x+3y) точка A(x,y) точка B(x,y) Новый

Давайте разберем ваш вопрос по шагам.

a) Как найти градиент функции z = f(x, y) в точке A(x, y)?

Градиент функции двух переменных, такой как z = f(x, y), обозначается как grad z и представляет собой вектор, состоящий из частных производных функции по каждой переменной. Для функции z = ln(2x + 3y) мы будем находить частные производные по x и y.

1. Найдем частную производную по x:
• Для этого используем правило производной логарифма: d/dx(ln(u)) = 1/u * du/dx, где u = 2x + 3y.
• Сначала найдем производную u по x: du/dx = 2.
• Теперь, подставляя в формулу, получаем: ∂z/∂x = 1/(2x + 3y) * 2 = 2/(2x + 3y).
2. Теперь найдем частную производную по y:
• Используем то же правило: d/dy(ln(u)) = 1/u * du/dy.
• Находим производную u по y: du/dy = 3.
• Теперь, подставляя, получаем: ∂z/∂y = 1/(2x + 3y) * 3 = 3/(2x + 3y).

Теперь мы можем записать градиент вектором:

grad z = (∂z/∂x, ∂z/∂y) = (2/(2x + 3y), 3/(2x + 3y)).

Теперь подставим координаты точки A(2, 2):

• x = 2, y = 2, тогда 2x + 3y = 2*2 + 3*2 = 4 + 6 = 10.
• Подставляем в градиент: grad z = (2/10, 3/10) = (0.2, 0.3).

Таким образом, градиент функции в точке A(2, 2) равен (0.2, 0.3).

б) Как вычислить производную AB?

Производная AB в данном контексте означает нахождение направления и длины вектора AB, который соединяет точки A и B.

Сначала найдем координаты вектора AB:

• Координаты точки A: A(2, 2)
• Координаты точки B: B(-1, 4)

Вектор AB можно найти по формуле:

AB = B - A = (x_B - x_A, y_B - y_A) = (-1 - 2, 4 - 2) = (-3, 2).

Теперь, чтобы найти длину вектора AB, используем формулу для длины вектора:

|AB| = √((-3)^2 + (2)^2) = √(9 + 4) = √13.

Таким образом, производная AB, в смысле длины вектора, равна √13. Если же речь идет о направлении, то мы можем нормализовать вектор AB, чтобы получить единичный вектор:

• Единичный вектор = (AB)/|AB| = (-3/√13, 2/√13).

Таким образом, мы нашли градиент функции в точке A и вычислили производную вектора AB. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь спрашивать!