Как найти и записать точку перегиба функции y=x^3-24x^2+2x-1?

Математика 11 класс Производная и точки перегиба функции точка перегиба функция y=x^3-24x^2+2x-1 производная математика 11 класс Новый

Чтобы найти и записать точку перегиба функции y = x^3 - 24x^2 + 2x - 1, нам нужно выполнить несколько шагов. Точка перегиба — это точка, в которой меняется знак второй производной функции, то есть она указывает на изменение кривизны графика функции.

1. Найдем первую производную функции. Первая производная показывает скорость изменения функции.
2. Найдем вторую производную функции. Вторая производная покажет нам, как меняется первая производная, и именно она поможет нам найти точку перегиба.

Теперь давайте начнем с первой производной:

1. Первая производная функции y = x^3 - 24x^2 + 2x - 1 равна:
• y' = 3x^2 - 48x + 2

Теперь найдем вторую производную:

1. Вторая производная будет равна:
• y'' = 6x - 48

Теперь нам нужно найти точки, в которых вторая производная равна нулю:

1. Решим уравнение:
• 6x - 48 = 0
• 6x = 48
• x = 8

Теперь мы нашли значение x = 8. Это потенциальная точка перегиба. Теперь нам нужно проверить, меняется ли знак второй производной в этой точке. Для этого подставим значения, которые меньше и больше 8, в вторую производную:

1. Подставим x = 7:
• y''(7) = 6(7) - 48 = 42 - 48 = -6 (отрицательное значение)
2. Подставим x = 9:
• y''(9) = 6(9) - 48 = 54 - 48 = 6 (положительное значение)

Мы видим, что вторая производная меняет знак: она была отрицательной при x = 7 и стала положительной при x = 9. Это подтверждает, что x = 8 — точка перегиба.

Теперь найдем соответствующее значение y при x = 8:

1. Подставим x = 8 в исходную функцию:
• y(8) = 8^3 - 24(8^2) + 2(8) - 1 = 512 - 1536 + 16 - 1 = -1009

Таким образом, точка перегиба функции y = x^3 - 24x^2 + 2x - 1 находится в точке (8, -1009).

Ответ: Точка перегиба: (8, -1009)