Как найти координаты и длину вектора а, если

a = m/3 – n, m{–3; 6}, n{2; –2}.

Как написать уравнение окружности с центром в точке A(–3; 2), проходящей через точку B(0; –2)?

Как доказать, что треугольник MNK, заданный координатами своих вершин: M(–6; 1), N(2; 4), K(2; –2), является равнобедренным?

Математика 11 класс Векторы, уравнение окружности, свойства треугольников координаты вектора длина вектора уравнение окружности центр окружности точка на окружности доказательство равнобедренного треугольника координаты вершин треугольника свойства треугольников математика 11 класс векторы окружности геометрия треугольники Новый

Ответ:

Давайте разберем каждую часть задания по порядку.

1. Найти координаты и длину вектора a:

Вектор a задан в виде a = m/3 – n, где m = {–3; 6}, n = {2; –2}. Для начала мы определим координаты вектора a, подставив значения m и n.

1. Подставляем m = -3:
• a = (-3)/3 - n = -1 - n = -1 - {2; -2} = {-1 - 2; -1 + 2} = {-3; 1}.
2. Теперь подставим m = 6:
• a = 6/3 - n = 2 - n = 2 - {2; -2} = {2 - 2; 2 + 2} = {0; 4}.

Таким образом, вектор a имеет координаты {-3; 1} и {0; 4}.

Теперь найдем длину вектора a, используя формулу длины вектора:

Длина вектора a = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²), где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты начала и конца вектора соответственно.

1. Для вектора a = {-3; 1}:
• Длина a = √((-3 - 0)² + (1 - 4)²) = √(9 + 9) = √18 = 3√2.

Теперь мы знаем координаты вектора a и его длину.

2. Уравнение окружности с центром в A(–3; 2), проходящей через B(0; –2):

Уравнение окружности имеет вид (x - x0)² + (y - y0)² = r², где (x0, y0) - координаты центра, а r - радиус окружности.

Сначала найдем радиус окружности. Радиус равен расстоянию от точки A до точки B:

1. r = √((xB - xA)² + (yB - yA)²) = √((0 - (-3))² + ((-2) - 2)²) = √(3² + (-4)²) = √(9 + 16) = √25 = 5.

Теперь подставим координаты центра A и радиус r в уравнение окружности:

(x + 3)² + (y - 2)² = 5².

Итак, уравнение окружности будет выглядеть так:

(x + 3)² + (y - 2)² = 25.

3. Доказать, что треугольник MNK является равнобедренным:

Для того чтобы доказать, что треугольник MNK является равнобедренным, нам нужно показать, что хотя бы две его стороны равны.

Координаты вершин:

• M(-6; 1)
• N(2; 4)
• K(2; -2)

Теперь вычислим длины сторон MN, NK и MK:

1. Длина MN:
• MN = √((2 - (-6))² + (4 - 1)²) = √(8² + 3²) = √(64 + 9) = √73.
2. Длина NK:
• NK = √((2 - 2)² + (4 - (-2))²) = √(0 + 6²) = √36 = 6.
3. Длина MK:
• MK = √((2 - (-6))² + ((-2) - 1)²) = √(8² + (-3)²) = √(64 + 9) = √73.

Сравнив длины сторон, мы видим, что MN = MK = √73. Таким образом, треугольник MNK является равнобедренным, так как две его стороны равны.

На этом все! Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь их задавать.