Как найти объем правильной усеченной пирамиды, если стороны верхнего и нижнего оснований равны 2√3 дм и 4√3 дм, а двугранный угол при ребре нижнего основания равен 60°? В частности, как рассчитать объем, если пирамида четырехугольная?

Математика 11 класс Объем усеченной пирамиды объем правильной усеченной пирамиды стороны оснований Двугранный угол расчет объема четырёхугольная пирамида Новый

Чтобы найти объем правильной усеченной пирамиды, нам нужно использовать формулу:

V = (1/3) * h * (S1 + S2 + √(S1 * S2))

где:

• V - объем усеченной пирамиды;
• h - высота усеченной пирамиды;
• S1 - площадь нижнего основания;
• S2 - площадь верхнего основания.

Теперь давайте разберем, как найти необходимые значения для нашей пирамиды:

1. Определяем площади оснований:
   • Нижнее основание - квадрат со стороной 4√3 дм:
   • Площадь S1 = (4√3)² = 16 * 3 = 48 дм².
   • Верхнее основание - квадрат со стороной 2√3 дм:
   • Площадь S2 = (2√3)² = 4 * 3 = 12 дм².
2. Находим высоту усеченной пирамиды:
   • Двугранный угол при ребре нижнего основания равен 60°. Это означает, что мы можем использовать тригонометрию для нахождения высоты.
   • Сначала найдем длину ребра, которое соединяет верхнее и нижнее основания. Мы можем использовать свойства треугольника, образованного высотой, половиной разности сторон оснований и ребром.
   • Разность сторон оснований: (4√3 - 2√3) / 2 = √3 дм.
   • Используя треугольник, у нас есть угол 60°, и мы знаем, что:
   • tan(60°) = h / (√3).
   • Отсюда h = √3 * tan(60°) = √3 * √3 = 3 дм.
3. Теперь подставляем все значения в формулу для объема:
4. V = (1/3) * 3 * (48 + 12 + √(48 * 12)).
5. V = (1/3) * 3 * (60 + √576).
6. V = (1/3) * 3 * (60 + 24) = (1/3) * 3 * 84 = 84 дм³.

Таким образом, объем правильной усеченной четырехугольной пирамиды равен 84 дм³.