Чтобы найти объем правильной усеченной пирамиды, нам нужно использовать формулу:

V = (1/3) * h * (S1 + S2 + √(S1 * S2))

где:

• V - объем усеченной пирамиды;
• h - высота усеченной пирамиды;
• S1 - площадь нижнего основания;
• S2 - площадь верхнего основания.

Теперь давайте разберем, как найти необходимые значения для нашей пирамиды:

1. Определяем площади оснований:
   • Нижнее основание - квадрат со стороной 4√3 дм:
   • Площадь S1 = (4√3)² = 16 * 3 = 48 дм².
   • Верхнее основание - квадрат со стороной 2√3 дм:
   • Площадь S2 = (2√3)² = 4 * 3 = 12 дм².
2. Находим высоту усеченной пирамиды:
   • Двугранный угол при ребре нижнего основания равен 60°. Это означает, что мы можем использовать тригонометрию для нахождения высоты.
   • Сначала найдем длину ребра, которое соединяет верхнее и нижнее основания. Мы можем использовать свойства треугольника, образованного высотой, половиной разности сторон оснований и ребром.
   • Разность сторон оснований: (4√3 - 2√3) / 2 = √3 дм.
   • Используя треугольник, у нас есть угол 60°, и мы знаем, что:
   • tan(60°) = h / (√3).
   • Отсюда h = √3 * tan(60°) = √3 * √3 = 3 дм.
3. Теперь подставляем все значения в формулу для объема:
4. V = (1/3) * 3 * (48 + 12 + √(48 * 12)).
5. V = (1/3) * 3 * (60 + √576).
6. V = (1/3) * 3 * (60 + 24) = (1/3) * 3 * 84 = 84 дм³.

Таким образом, объем правильной усеченной четырехугольной пирамиды равен 84 дм³.