Как найти объем тела, которое образуется при вращении вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями: у=-х^2, у=2х и у=0?

Математика 11 класс Объем вращения Объём тела вращение вокруг оси ОХ фигура ограниченная линиями у=-х^2 у=2х у=0 11 класс математика интегралы метод дисков метод цилиндров геометрия площадь объём задачи по математике Новый

Чтобы найти объем тела, образующегося при вращении фигуры вокруг оси ОХ, мы можем использовать метод дисков или цилиндров. В данном случае мы будем использовать метод дисков. Давайте разберем шаги решения подробно.

Шаг 1: Найдем точки пересечения кривых.

Для начала нам нужно найти, где пересекаются линии у = -x^2 и у = 2x. Для этого приравняем их:

1. -x^2 = 2x
2. Переносим все в одну сторону: -x^2 - 2x = 0
3. Факторизуем: -x(x + 2) = 0
4. Таким образом, x = 0 и x = -2.

Теперь мы знаем, что фигура ограничена по оси X от -2 до 0.

Шаг 2: Определим уравнения функций.

Теперь определим, какая из функций будет верхней, а какая - нижней в пределах от -2 до 0:

• Для x = -1: у = -(-1)^2 = -1 и у = 2*(-1) = -2. Значит, у = -x^2 выше у = 2x.
• Таким образом, у = -x^2 - верхняя функция, а у = 2x - нижняя.

Шаг 3: Запишем формулу для объема.

Объем V тела вращения можно найти по формуле:

V = π ∫[a, b] (f(x)^2 - g(x)^2) dx

где f(x) - верхняя функция, g(x) - нижняя функция, а [a, b] - пределы интегрирования.

В нашем случае:

• f(x) = -x^2
• g(x) = 2x
• Пределы интегрирования: от -2 до 0.

Шаг 4: Подставим функции в формулу.

Теперь подставим функции в формулу для объема:

V = π ∫[-2, 0] ((-x^2)^2 - (2x)^2) dx

Упростим выражение:

V = π ∫[-2, 0] (x^4 - 4x^2) dx

Шаг 5: Вычислим интеграл.

Теперь вычислим интеграл:

1. ∫(x^4 - 4x^2) dx = (1/5)x^5 - (4/3)x^3 + C
2. Теперь подставим пределы: V = π [(1/5)(0)^5 - (4/3)(0)^3] - π [(1/5)(-2)^5 - (4/3)(-2)^3]
3. Это упростится до: V = π [0 - 0] - π [-(32/5) + (32/3)]
4. Теперь найдем общий знаменатель для (32/5) и (32/3): 15.
5. V = π [-(96/15) + (160/15)] = π (64/15).

Шаг 6: Запишем окончательный ответ.

Таким образом, объем тела, образующегося при вращении фигуры вокруг оси ОХ, равен:

V = (64π)/15.