Чтобы найти объем тела, образующегося при вращении фигуры вокруг оси ОХ, мы можем использовать метод дисков или цилиндров. В данном случае мы будем использовать метод дисков. Давайте разберем шаги решения подробно.

Для начала нам нужно найти, где пересекаются линии у = -x^2 и у = 2x. Для этого приравняем их:

1. -x^2 = 2x
2. Переносим все в одну сторону: -x^2 - 2x = 0
3. Факторизуем: -x(x + 2) = 0
4. Таким образом, x = 0 и x = -2.

Теперь мы знаем, что фигура ограничена по оси X от -2 до 0.

Теперь определим, какая из функций будет верхней, а какая - нижней в пределах от -2 до 0:

• Для x = -1: у = -(-1)^2 = -1 и у = 2*(-1) = -2. Значит, у = -x^2 выше у = 2x.
• Таким образом, у = -x^2 - верхняя функция, а у = 2x - нижняя.

Объем V тела вращения можно найти по формуле:

V = π ∫[a, b] (f(x)^2 - g(x)^2) dx

где f(x) - верхняя функция, g(x) - нижняя функция, а [a, b] - пределы интегрирования.

В нашем случае:

• f(x) = -x^2
• g(x) = 2x
• Пределы интегрирования: от -2 до 0.

Теперь подставим функции в формулу для объема:

V = π ∫[-2, 0] ((-x^2)^2 - (2x)^2) dx

Упростим выражение:

V = π ∫[-2, 0] (x^4 - 4x^2) dx

Теперь вычислим интеграл:

1. ∫(x^4 - 4x^2) dx = (1/5)x^5 - (4/3)x^3 + C
2. Теперь подставим пределы: V = π [(1/5)(0)^5 - (4/3)(0)^3] - π [(1/5)(-2)^5 - (4/3)(-2)^3]
3. Это упростится до: V = π [0 - 0] - π [-(32/5) + (32/3)]
4. Теперь найдем общий знаменатель для (32/5) и (32/3): 15.
5. V = π [-(96/15) + (160/15)] = π (64/15).

Таким образом, объем тела, образующегося при вращении фигуры вокруг оси ОХ, равен:

V = (64π)/15.