Чтобы найти первообразную для функции f(x) = (5 - 3x)^3 и удовлетворить условию F(2) = 11/12, следуем следующим шагам:

Для нахождения первообразной мы можем использовать метод подстановки. Обозначим:

• u = 5 - 3x

Теперь найдем производную u по x:

• du/dx = -3,

или, выражая dx через du:

• dx = du / -3.

Теперь заменим переменные в интеграле:

Интеграл от f(x) можно записать как:

• ∫(5 - 3x)^3 dx = ∫u^3 * (du / -3).

Теперь можем вынести -1/3 за знак интеграла:

• = -1/3 ∫u^3 du.

Теперь вычислим интеграл:

• ∫u^3 du = (u^4)/4 + C = (5 - 3x)^4 / 4 + C.

Таким образом, первообразная F(x) будет:

• F(x) = -1/3 * (5 - 3x)^4 / 4 + C = -(5 - 3x)^4 / 12 + C.

Теперь подставим x = 2 в нашу первообразную:

• F(2) = -(5 - 3*2)^4 / 12 + C = -(5 - 6)^4 / 12 + C = -(-1)^4 / 12 + C = -1/12 + C.

Теперь приравняем это к 11/12:

• -1/12 + C = 11/12.

Решим это уравнение для C:

• C = 11/12 + 1/12 = 12/12 = 1.

Теперь мы можем записать окончательную формулу для первообразной функции:

• F(x) = -(5 - 3x)^4 / 12 + 1.

Таким образом, первообразная функции f(x) = (5 - 3x)^3, которая удовлетворяет условию F(2) = 11/12, равна:

• F(x) = -(5 - 3x)^4 / 12 + 1.