Как найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной следующими линиями:

1. y = x² - 6x + 7
2. y = -x + 7

Математика 11 класс Площадь криволинейной фигуры площадь криволинейной трапеции математические задачи интегралы графики функций нахождение площади Новый

Чтобы найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривыми y = x² - 6x + 7 и y = -x + 7, нужно выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Найдем точки пересечения кривых.

Для этого приравняем уравнения:

x² - 6x + 7 = -x + 7

Теперь упростим это уравнение:

• Переносим все элементы в одну сторону:
• x² - 6x + x + 7 - 7 = 0
• x² - 5x = 0

Теперь можем вынести x за скобки:

x(x - 5) = 0

Это уравнение имеет два корня:

• x = 0
• x = 5

Шаг 2: Найдем значения y в точках пересечения.

Теперь подставим эти значения x в одно из уравнений, например, y = -x + 7:

• Для x = 0: y = -0 + 7 = 7
• Для x = 5: y = -5 + 7 = 2

Таким образом, точки пересечения: (0, 7) и (5, 2).

Шаг 3: Найдем площадь криволинейной трапеции.

Площадь между кривыми можно найти, вычислив определенный интеграл разности функций от 0 до 5:

Площадь = ∫[0, 5] (верхняя функция - нижняя функция) dx

В данном случае, верхняя функция - это y = -x + 7, а нижняя - y = x² - 6x + 7:

Площадь = ∫[0, 5] ((-x + 7) - (x² - 6x + 7)) dx

Упростим выражение:

Площадь = ∫[0, 5] (-x + 7 - x² + 6x - 7) dx

Площадь = ∫[0, 5] (-x² + 5x) dx

Шаг 4: Вычислим интеграл.

Теперь найдем интеграл:

∫(-x² + 5x) dx = (-1/3)x³ + (5/2)x²

Теперь подставим пределы от 0 до 5:

Площадь = [(-1/3)(5)³ + (5/2)(5)²] - [(-1/3)(0)³ + (5/2)(0)²]

Площадь = [(-1/3)(125) + (5/2)(25)] - [0]

Площадь = [-125/3 + 125/2]

Чтобы сложить дроби, найдем общий знаменатель, который равен 6:

• -125/3 = -250/6
• 125/2 = 375/6

Таким образом:

Площадь = (-250/6 + 375/6) = 125/6

Ответ:

Площадь криволинейной трапеции равна 125/6.