Как найти площадь треугольника, который образован осями координат и касательной к графику функции y = 3x^3 - 12x - 15 в точке с абсциссой x0 = -2?

Математика 11 класс Площадь треугольника и касательные к графикам функций площадь треугольника координатные оси касательная график функции y = 3x^3 - 12x - 15 x0 = -2 математика 11 класс Новый

Чтобы найти площадь треугольника, образованного осями координат и касательной к графику функции в заданной точке, следуем следующим шагам:

1. Находим значение функции в точке x0 = -2:

   Подставляем x0 в уравнение функции:

   y = 3(-2)^3 - 12(-2) - 15.

   Вычисляем:

   • 3 * (-8) = -24,
   • -12 * (-2) = 24,
   • Таким образом, y = -24 + 24 - 15 = -15.

   Следовательно, точка касания имеет координаты (-2, -15).

2. Находим производную функции:

   Для нахождения уравнения касательной нам нужна производная функции:

   y' = 9x^2 - 12.

   Теперь подставим x0 = -2 в производную:

   y'(-2) = 9(-2)^2 - 12 = 9 * 4 - 12 = 36 - 12 = 24.

   Таким образом, угловой коэффициент касательной в точке (-2, -15) равен 24.

3. Записываем уравнение касательной:

   Используем точку (-2, -15) и угловой коэффициент 24 для написания уравнения касательной в форме:

   y - y0 = m(x - x0), где m - угловой коэффициент.

   Подставляем значения:

   y + 15 = 24(x + 2).

   Упрощаем уравнение:

   y = 24x + 48 - 15 = 24x + 33.

4. Находим точки пересечения касательной с осями координат:
   • Пересечение с осью Y:

     Для нахождения точки пересечения с осью Y подставим x = 0:

     y = 24(0) + 33 = 33.

     Точка пересечения с осью Y: (0, 33).

   • Пересечение с осью X:

     Для нахождения точки пересечения с осью X подставим y = 0:

     0 = 24x + 33.

     Решим уравнение:

     24x = -33, x = -33/24 = -11/8.

     Точка пересечения с осью X: (-11/8, 0).

5. Находим площадь треугольника:

   Площадь треугольника, образованного осями координат и касательной, можно найти по формуле:

   Площадь = (1/2) * основание * высота.

   В нашем случае основание - это расстояние по оси X от (-11/8) до 0, а высота - это значение по оси Y, равное 33.

   Расстояние по оси X: |0 - (-11/8)| = 11/8.

   Теперь подставим значения в формулу:

   Площадь = (1/2) * (11/8) * 33 = (11 * 33) / 16 = 363 / 16.

Таким образом, площадь треугольника, образованного осями координат и касательной к графику функции в точке с абсциссой x0 = -2, равна 363/16.