Как найти предел функции f(x)=9x^2 + 6x^3 + 11x-3, используя формулу f(x+∆x) и ∆y/∆x?

Математика 11 класс Пределы и производные функций предел функции f(x) формула f(x+∆x) ∆y/∆x математика 11 класс Новый

Для нахождения предела функции f(x) = 9x² + 6x³ + 11x - 3, используя подход с ∆x и ∆y, давайте рассмотрим, как это сделать поэтапно.

Шаг 1: Определим функцию и её изменение.

Начнем с того, что мы хотим найти предел функции f(x) при x, стремящемся к какому-то значению, например, к x0. В этом случае мы можем использовать формулу:

f(x + ∆x) = f(x0 + ∆x).

Теперь подставим значение x0 в функцию:

f(x0) = 9(x0)² + 6(x0)³ + 11(x0) - 3.

Шаг 2: Найдем f(x + ∆x).

Теперь подставим x = x0 + ∆x в нашу функцию:

f(x + ∆x) = 9(x0 + ∆x)² + 6(x0 + ∆x)³ + 11(x0 + ∆x) - 3.

Раскроем скобки:

• 9(x0 + ∆x)² = 9(x0² + 2x0∆x + (∆x)²) = 9x0² + 18x0∆x + 9(∆x)²;
• 6(x0 + ∆x)³ = 6(x0³ + 3x0²∆x + 3x0(∆x)² + (∆x)³) = 6x0³ + 18x0²∆x + 18x0(∆x)² + 6(∆x)³;
• 11(x0 + ∆x) = 11x0 + 11∆x.

Теперь объединим все части:

f(x + ∆x) = (9x0² + 6x0³ + 11x0 - 3) + (18x0 + 18x0² + 11)∆x + (9 + 18x0 + 11)(∆x)² + 6(∆x)³.

Шаг 3: Найдем ∆y и ∆x.

Теперь определим ∆y как разность между f(x + ∆x) и f(x0):

∆y = f(x + ∆x) - f(x0).

Подставляя значения, мы получаем:

∆y = (18x0 + 18x0² + 11)∆x + (9 + 18x0 + 11)(∆x)² + 6(∆x)³.

Шаг 4: Найдем предел ∆y/∆x при ∆x стремящемся к 0.

Теперь мы можем найти предел:

lim (∆x→0) ∆y/∆x = lim (∆x→0) [(18x0 + 18x0² + 11) + (9 + 18x0 + 11)∆x + 6(∆x)²].

Когда ∆x стремится к 0, последние два слагаемых исчезают, и мы получаем:

lim (∆x→0) ∆y/∆x = 18x0 + 18x0² + 11.

Шаг 5: Подводим итог.

Таким образом, мы нашли производную функции f(x) в точке x0, которая также является пределом функции f(x) при x, стремящемся к x0. Это и есть значение производной в данной точке.

Если вы хотите найти предел функции при конкретном значении x0, просто подставьте это значение в полученную формулу.