Как найти производную функции g(х) = хе^-1/2х и определить промежутки убывания этой функции g(х)?

Математика 11 класс Производные и исследование функций производная функции промежутки убывания g(х) = хе^-1/2х математика 11 класс нахождение производной Новый

Чтобы найти производную функции g(x) = x * e^(-1/2 * x) и определить промежутки ее убывания, мы будем следовать нескольким шагам.

Шаг 1: Найдем производную функции g(x)

Функция g(x) является произведением двух функций: x и e^(-1/2 * x). Для нахождения производной произведения мы используем правило Лейбница, которое гласит:

• (uv)' = u'v + uv',

где u = x и v = e^(-1/2 * x).

Находим производные u и v:

• u' = 1,
• v' = e^(-1/2 * x) * (-1/2) = -1/2 * e^(-1/2 * x).

Теперь применим правило Лейбница:

g'(x) = u'v + uv' = 1 * e^(-1/2 * x) + x * (-1/2 * e^(-1/2 * x)).

Упрощаем:

g'(x) = e^(-1/2 * x) - (1/2) * x * e^(-1/2 * x).

Теперь можно вынести общий множитель e^(-1/2 * x):

g'(x) = e^(-1/2 * x) * (1 - (1/2) * x).

Шаг 2: Найдем критические точки

Для определения промежутков убывания функции необходимо найти критические точки, где производная равна нулю или не существует. Рассмотрим уравнение:

g'(x) = e^(-1/2 * x) * (1 - (1/2) * x) = 0.

Поскольку e^(-1/2 * x) никогда не равно нулю, мы можем решить уравнение:

1 - (1/2) * x = 0.

Отсюда:

(1/2) * x = 1,

x = 2.

Шаг 3: Определим промежутки убывания

Теперь мы знаем, что критическая точка x = 2. Чтобы определить, на каких промежутках функция убывает, проверим знак производной g'(x) на интервалах:

• Интервал 1: (-∞, 2)
• Интервал 2: (2, +∞)

Проверка знака производной:

1. Для интервала (-∞, 2): выберем, например, x = 0.

g'(0) = e^0 * (1 - (1/2) * 0) = 1 > 0. Значит, функция возрастает на этом промежутке.

2. Для интервала (2, +∞): выберем, например, x = 3.

g'(3) = e^(-3/2) * (1 - (1/2) * 3) = e^(-3/2) * (-1) < 0. Значит, функция убывает на этом промежутке.

Шаг 4: Итог

Таким образом, функция g(x) возрастает на промежутке (-∞, 2) и убывает на промежутке (2, +∞).