Чтобы найти производные y' от функций, заданных в неявном виде, мы будем использовать метод неявного дифференцирования. Этот метод позволяет нам находить производные функций, которые не выражены явно через y. Давайте рассмотрим каждую из указанных функций по отдельности.

1. Дифференцируем обе стороны уравнения по x:
• Слева: d/dx(x) + d/dx(y) = 1 + y'
• Справа: d/dx(e^(x - y)) = e^(x - y)(1 - y')
2. Приравниваем производные:
• 1 + y' = e^(x - y)(1 - y')
3. Решаем уравнение относительно y':
• y' + e^(x - y)y' = e^(x - y) - 1
• y'(1 + e^(x - y)) = e^(x - y) - 1
• y' = (e^(x - y) - 1) / (1 + e^(x - y))

1. Дифференцируем обе стороны по x:
• Слева: d/dx(x²) - d/dx(1) + d/dx(cos(xy)) = 2x - sin(xy)(y + xy')
2. Приравниваем производные к нулю:
• 2x - sin(xy)(y + xy') = 0
3. Решаем относительно y':
• sin(xy)(y + xy') = 2x
• y' = (2x - sin(xy)y) / (sin(xy)x)

1. Дифференцируем обе стороны по x:
• Слева: d/dx(x³) + d/dx(4y³) - d/dx(3yx²) = 3x² + 12y²y' - (3y'x² + 6yx)
2. Приравниваем производные к 0:
• 3x² + 12y²y' - (3y'x² + 6yx) = 0
3. Решаем относительно y':
• (12y² - 3x²)y' = 6yx - 3x²
• y' = (6yx - 3x²) / (12y² - 3x²)

1. Дифференцируем обе стороны по x:
• Слева: d/dx(arctg(y/x)) = (1/(1 + (y/x)²))(y'x - y/x²)
• Справа: d/dx((1/2) ln(x² + y²)) = (1/2)(1/(x² + y²))(2x + 2yy')
2. Приравниваем производные:
• (1/(1 + (y/x)²))(y'x - y/x²) = (x + yy')/(x² + y²)
3. Решаем относительно y':
• y' = (x + yy') * (1 + (y/x)²) / (x - y/x²)

Теперь, когда мы нашли производные, мы можем определить уравнения касательной и нормали к кривым в точке M(x₀, y₀).

y - y₀ = y'(x₀)(x - x₀), где y' - производная, найденная в предыдущих шагах.

Уравнение нормали можно получить из уравнения касательной, зная, что наклон нормали является отрицательным обратным значением наклона касательной:

y - y₀ = -1/y'(x₀)(x - x₀).

Таким образом, мы можем найти как касательные, так и нормали для каждой из функций, подставив соответствующие значения x₀ и y₀.