Как найти промежутки, в которых функция монотонна, и определить характер экстремумов для выражения:
y=7+12x-x^3?

Математика 11 класс Промежутки монотонности и экстремумы функции промежутки монотонности характер экстремумов функция y=7+12x-x^3 производная функции анализ функции математический анализ экстремумы функции нахождение производной график функции исследование функции Новый

Чтобы найти промежутки, в которых функция монотонна, и определить характер экстремумов для функции y = 7 + 12x - x^3, мы будем следовать нескольким шагам.

Шаг 1: Найдем производную функции.

Сначала найдем первую производную функции y. Производная показывает, как изменяется функция в зависимости от x.

• y' = d(7 + 12x - x^3)/dx = 0 + 12 - 3x^2 = 12 - 3x^2.

Шаг 2: Найдем критические точки.

Критические точки находятся, когда производная равна нулю или не существует. В нашем случае мы решаем уравнение:

• 12 - 3x^2 = 0.

Решим это уравнение:

• 3x^2 = 12
• x^2 = 4
• x = ±2.

Таким образом, у нас есть две критические точки: x = -2 и x = 2.

Шаг 3: Определим знаки производной на интервалах.

Теперь мы разделим числовую ось на интервалы, используя найденные критические точки:

• (-∞, -2)
• (-2, 2)
• (2, ∞)

Теперь выберем тестовые точки из каждого интервала и подставим их в производную y'.

• Для интервала (-∞, -2), например, x = -3:
• y'(-3) = 12 - 3(-3)^2 = 12 - 27 = -15 (меньше 0, функция убывает).
• Для интервала (-2, 2), например, x = 0:
• y'(0) = 12 - 3(0)^2 = 12 (больше 0, функция возрастает).
• Для интервала (2, ∞), например, x = 3:
• y'(3) = 12 - 3(3)^2 = 12 - 27 = -15 (меньше 0, функция убывает).

Шаг 4: Определим промежутки монотонности.

На основе знаков производной, мы можем сделать следующие выводы о монотонности функции:

• Функция убывает на интервале (-∞, -2).
• Функция возрастает на интервале (-2, 2).
• Функция убывает на интервале (2, ∞).

Шаг 5: Определим характер экстремумов.

Теперь мы можем определить, какой тип экстремума (максимум или минимум) соответствует критическим точкам:

• В точке x = -2 производная меняет знак с отрицательного на положительный, следовательно, это минимум.
• В точке x = 2 производная меняет знак с положительного на отрицательный, следовательно, это максимум.

Таким образом, мы пришли к следующему заключению:

• Функция имеет минимум в точке x = -2.
• Функция имеет максимум в точке x = 2.