Как найти решение неравенства: x^3 - 2x^2 - 3x + 6 = 0?

Математика 11 класс Неравенства и их решение неравенство решение неравенства математика 11 класс x^3 - 2x^2 - 3x + 6 математические задачи алгебра поиск корней неравенства в алгебре Новый

Чтобы решить неравенство x^3 - 2x^2 - 3x + 6 = 0, сначала необходимо найти корни соответствующего уравнения. Это можно сделать с помощью различных методов, таких как метод подбора, деление многочлена или применение теоремы Виета. В данном случае мы попробуем найти корни методом подбора.

Шаг 1: Подбор корней

Мы будем подбирать целые числа, чтобы найти корни уравнения. Начнем с простых значений:

• Подставим x = 1:

1^3 - 2*1^2 - 3*1 + 6 = 1 - 2 - 3 + 6 = 2 (не корень)

• Подставим x = 2:

2^3 - 2*2^2 - 3*2 + 6 = 8 - 8 - 6 + 6 = 0 (корень)

• Подставим x = -1:

(-1)^3 - 2*(-1)^2 - 3*(-1) + 6 = -1 - 2 + 3 + 6 = 6 (не корень)

• Подставим x = -2:

(-2)^3 - 2*(-2)^2 - 3*(-2) + 6 = -8 - 8 + 6 + 6 = -4 (не корень)

Таким образом, мы нашли один корень: x = 2.

Шаг 2: Деление многочлена

Теперь, когда мы нашли один корень, мы можем разложить многочлен на множители, используя деление многочлена. Мы будем делить x^3 - 2x^2 - 3x + 6 на (x - 2).

После деления мы получим:

x^3 - 2x^2 - 3x + 6 = (x - 2)(x^2 + 0x - 3) = (x - 2)(x^2 - 3).

Шаг 3: Нахождение оставшихся корней

Теперь нам нужно решить уравнение x^2 - 3 = 0. Это уравнение имеет два корня:

• x = sqrt(3)
• x = -sqrt(3)

Таким образом, все корни уравнения x^3 - 2x^2 - 3x + 6 = 0:

• x = 2
• x = sqrt(3)
• x = -sqrt(3)

Шаг 4: Определение знаков промежутков

Теперь мы можем построить числовую прямую и определить знаки на промежутках, которые образуют корни:

• Промежуток (-∞, -sqrt(3))
• Промежуток (-sqrt(3), 2)
• Промежуток (2, +∞)

Теперь мы можем выбрать тестовые точки из каждого промежутка и подставить их в исходное неравенство:

• Для промежутка (-∞, -sqrt(3)), например, x = -2:

(-2)^3 - 2*(-2)^2 - 3*(-2) + 6 = -8 - 8 + 6 + 6 = -4 (меньше 0)

• Для промежутка (-sqrt(3), 2), например, x = 0:

0^3 - 2*0^2 - 3*0 + 6 = 6 (больше 0)

• Для промежутка (2, +∞), например, x = 3:

3^3 - 2*3^2 - 3*3 + 6 = 27 - 18 - 9 + 6 = 6 (больше 0)

Шаг 5: Запись решения неравенства

Таким образом, неравенство x^3 - 2x^2 - 3x + 6 > 0 выполняется на промежутках:

• (-sqrt(3), 2)
• (2, +∞)

Ответ: x ∈ (-sqrt(3), 2) ∪ (2, +∞).