Как найти решение однородного дифференциального уравнения x² + y² = 2xyy'?

Математика 11 класс Однородные дифференциальные уравнения решение дифференциального уравнения однородное уравнение математика 11 класс метод решения уравнений x² + y² = 2xyy' Новый

Чтобы решить однородное дифференциальное уравнение вида x² + y² = 2xyy', начнем с приведения его к более удобному виду. Мы можем переписать уравнение, выделив производную y':

Для этого сначала перенесем все члены, содержащие y', на одну сторону уравнения:

1. Переписываем уравнение:

• x² + y² = 2xyy'
• 2xyy' = x² + y²
• y' = (x² + y²) / (2xy)

Теперь у нас есть выражение для производной y' в терминах x и y.

2. Замена переменных:

Поскольку уравнение однородное, мы можем использовать замену переменных. Введем новую переменную v, где v = y/x. Таким образом, y = vx и y' = v + x(dv/dx).

3. Подставляем в уравнение:

• y' = v + x(dv/dx)
• Подставляем это в уравнение:
• v + x(dv/dx) = (x² + (vx)²) / (2x(vx))

Упростим правую часть:

• v + x(dv/dx) = (x² + v²x²) / (2vx²)
• v + x(dv/dx) = (1 + v²) / (2v)

4. Упрощение уравнения:

Теперь умножим обе стороны на 2v:

• 2v(v + x(dv/dx)) = 1 + v²
• 2v² + 2vx(dv/dx) = 1 + v²
• 2vx(dv/dx) = 1 - v²

5. Разделение переменных:

Теперь разделим переменные:

• 2v/(1 - v²) dv = 1/x dx

6. Интегрирование:

Теперь мы можем интегрировать обе стороны:

• Интеграл левой части: ∫(2v/(1 - v²)) dv
• Интеграл правой части: ∫(1/x) dx

Интеграл левой части можно решить с помощью подстановки, а правую часть мы знаем:

• ∫(1/x) dx = ln|x| + C

7. Решение интеграла:

После интегрирования мы получим:

• ln|1 - v²| = ln|x| + C

Теперь мы можем выразить v и подставить обратно y = vx:

• 1 - v² = kx, где k = e^C (константа)
• v² = 1 - kx
• y/x = ±√(1 - kx)
• y = x(±√(1 - kx))

8. Ответ:

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид:

y = x(±√(1 - kx)), где k - произвольная константа.