Как найти решение системы уравнений: x² + y² = 2x и x² - 2xy + 1 = 0?

Математика 11 класс Системы уравнений решение системы уравнений уравнения x² + y² = 2x уравнения x² - 2xy + 1 = 0 математика 11 класс методы решения уравнений Новый

Чтобы найти решение данной системы уравнений, начнем с того, что у нас есть два уравнения:

1. Первое уравнение: x² + y² = 2x
2. Второе уравнение: x² - 2xy + 1 = 0

Давайте сначала рассмотрим первое уравнение. Мы можем его переписать в более удобной форме. Переносим 2x на левую сторону:

x² - 2x + y² = 0

Теперь это уравнение можно воспринимать как уравнение окружности с центром в точке (1, 0) и радиусом √1 = 1. То есть, все возможные значения (x, y) должны находиться на окружности радиусом 1, центрированной в (1, 0).

Теперь перейдем ко второму уравнению. Мы можем выразить y через x. Для этого решим уравнение x² - 2xy + 1 = 0 относительно y:

2xy = x² + 1

y = (x² + 1)/(2x)

Теперь подставим выражение для y из второго уравнения в первое уравнение:

x² + ((x² + 1)/(2x))² = 2x

Давайте упростим это выражение. Для начала, найдем (y²):

y² = ((x² + 1)/(2x))² = (x² + 1)²/(4x²)

Теперь подставим это в первое уравнение:

x² + (x² + 1)²/(4x²) = 2x

Умножим обе стороны уравнения на 4x², чтобы избавиться от дробей:

4x² * x² + (x² + 1)² = 8x³

Теперь у нас получится:

4x^4 + (x² + 1)² - 8x³ = 0

Раскроем скобки (x² + 1)²:

(x² + 1)² = x^4 + 2x² + 1

Теперь подставим это в уравнение:

4x^4 + x^4 + 2x² + 1 - 8x³ = 0

Соберем подобные слагаемые:

5x^4 - 8x³ + 2x² + 1 = 0

Теперь мы имеем полиномиальное уравнение 5x^4 - 8x³ + 2x² + 1 = 0. Решим его, используя численные методы или графический метод, так как аналитическое решение может быть сложным.

После нахождения корней x, подставим их обратно в y = (x² + 1)/(2x) для нахождения соответствующих значений y.

Таким образом, мы получим все возможные пары (x, y), которые являются решениями данной системы уравнений.

Если есть необходимость в более детальном решении полинома или в численных методах, дайте знать, и я помогу вам с этим!