Как найти решение уравнения 27×81^sin - 12×9^sin + 1?
Математика 11 класс Уравнения с параметрами и тригонометрические уравнения уравнение решение уравнения математика 11 класс тригонометрические функции синус алгебра экспоненциальные функции Новый
Для решения уравнения 27×81^sin - 12×9^sin + 1 = 0, давайте сначала упростим его, используя свойства степеней.
Мы знаем, что:
Теперь подставим эти значения в уравнение:
27×81^sin = 3^3 × (3^4)^sin = 3^3 × 3^(4sin) = 3^(3 + 4sin)
12×9^sin = 12 × (3^2)^sin = 12 × 3^(2sin)
Таким образом, уравнение можно переписать в следующем виде:
3^(3 + 4sin) - 12 × 3^(2sin) + 1 = 0
Теперь обозначим t = 3^(sin). Тогда 3^(2sin) = t^2 и 3^(3 + 4sin) = 3^3 × t^4 = 27t^4.
Подставим эти обозначения в уравнение:
27t^4 - 12t^2 + 1 = 0
Теперь это квадратное уравнение относительно t^2. Обозначим u = t^2, тогда уравнение становится:
27u^2 - 12u + 1 = 0
Для решения квадратного уравнения используем формулу корней:
u = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, где a = 27, b = -12, c = 1.
Теперь подставим значения:
Теперь можем найти корни:
u = (12 ± √36) / (2 × 27) = (12 ± 6) / 54
Теперь найдем два возможных значения:
Теперь вернемся к переменной t:
Теперь вспомним, что t = 3^(sin). Таким образом, у нас есть:
Теперь найдем значения sin:
Таким образом, решения уравнения:
Итак, мы нашли все решения уравнения 27×81^sin - 12×9^sin + 1 = 0.