Как найти решение уравнения 27×81^sin - 12×9^sin + 1?

Математика 11 класс Уравнения с параметрами и тригонометрические уравнения уравнение решение уравнения математика 11 класс тригонометрические функции синус алгебра экспоненциальные функции Новый

Для решения уравнения 27×81^sin - 12×9^sin + 1 = 0, давайте сначала упростим его, используя свойства степеней.

Мы знаем, что:

• 27 = 3^3
• 81 = 3^4
• 9 = 3^2

Теперь подставим эти значения в уравнение:

27×81^sin = 3^3 × (3^4)^sin = 3^3 × 3^(4sin) = 3^(3 + 4sin)

12×9^sin = 12 × (3^2)^sin = 12 × 3^(2sin)

Таким образом, уравнение можно переписать в следующем виде:

3^(3 + 4sin) - 12 × 3^(2sin) + 1 = 0

Теперь обозначим t = 3^(sin). Тогда 3^(2sin) = t^2 и 3^(3 + 4sin) = 3^3 × t^4 = 27t^4.

Подставим эти обозначения в уравнение:

27t^4 - 12t^2 + 1 = 0

Теперь это квадратное уравнение относительно t^2. Обозначим u = t^2, тогда уравнение становится:

27u^2 - 12u + 1 = 0

Для решения квадратного уравнения используем формулу корней:

u = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, где a = 27, b = -12, c = 1.

Теперь подставим значения:

• b^2 = (-12)^2 = 144
• 4ac = 4 × 27 × 1 = 108
• b^2 - 4ac = 144 - 108 = 36

Теперь можем найти корни:

u = (12 ± √36) / (2 × 27) = (12 ± 6) / 54

Теперь найдем два возможных значения:

• u1 = (12 + 6) / 54 = 18 / 54 = 1/3
• u2 = (12 - 6) / 54 = 6 / 54 = 1/9

Теперь вернемся к переменной t:

• t^2 = 1/3, значит t = √(1/3) = 1/√3
• t^2 = 1/9, значит t = √(1/9) = 1/3

Теперь вспомним, что t = 3^(sin). Таким образом, у нас есть:

• 3^(sin) = 1/√3 => sin = -1/2
• 3^(sin) = 1/3 => sin = -1

Теперь найдем значения sin:

• sin = -1/2: это может произойти при углах 210° (или 7π/6 радиан) и 330° (или 11π/6 радиан).
• sin = -1: это происходит при угле 270° (или 3π/2 радиан).

Таким образом, решения уравнения:

• sin = -1/2 при углах 210° и 330°;
• sin = -1 при угле 270°.

Итак, мы нашли все решения уравнения 27×81^sin - 12×9^sin + 1 = 0.