Как найти решение уравнения (x+2)^(1/2) - (3x+2)^(1/3) = 0?

Математика 11 класс Уравнения с корнями и дробными степенями решение уравнения уравнение с корнями математические задачи алгебра 11 класс поиск корней уравнения Новый

Чтобы решить уравнение (x+2)^(1/2) - (3x+2)^(1/3) = 0, давайте следовать шаг за шагом.

1. Переносим одно из выражений:

   Сначала перенесем (3x+2)^(1/3) на правую сторону:

   (x+2)^(1/2) = (3x+2)^(1/3)

2. Возводим обе стороны в степень:

   Теперь, чтобы избавиться от корней, возведем обе стороны в третью степень:

   [(x+2)^(1/2)]^3 = [(3x+2)^(1/3)]^3

   Это упростится до:

   (x+2)^(3/2) = 3x + 2

3. Возводим в квадрат:

   Теперь, чтобы избавиться от дробной степени, возведем обе стороны в квадрат:

   [(x+2)^(3/2)]^2 = (3x + 2)^2

   Это упростится до:

   (x+2)^3 = (3x + 2)^2

4. Раскрываем скобки:

   Теперь раскроем обе стороны:

   • (x+2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8
   • (3x + 2)^2 = 9x^2 + 12x + 4
5. Сравниваем обе стороны:

   Теперь у нас есть:

   x^3 + 6x^2 + 12x + 8 = 9x^2 + 12x + 4

   Переносим все в одну сторону:

   x^3 + 6x^2 + 12x + 8 - 9x^2 - 12x - 4 = 0

   Упрощаем:

   x^3 - 3x^2 + 4 = 0

6. Ищем корни:

   Теперь мы можем искать корни этого кубического уравнения. Попробуем использовать метод подбора:

   • Подставим x = 1: 1^3 - 3(1^2) + 4 = 1 - 3 + 4 = 2 (не корень)
   • Подставим x = 2: 2^3 - 3(2^2) + 4 = 8 - 12 + 4 = 0 (корень)

   Таким образом, x = 2 является корнем уравнения.

7. Проверяем корень:

   Теперь проверим, является ли x = 2 решением исходного уравнения:

   • (2 + 2)^(1/2) = 4^(1/2) = 2
   • (3(2) + 2)^(1/3) = (6 + 2)^(1/3) = 8^(1/3) = 2

   Обе стороны равны, значит, x = 2 действительно является решением.

Ответ: Решение уравнения (x+2)^(1/2) - (3x+2)^(1/3) = 0 - это x = 2.