Как найти решения для следующих логарифмических уравнений:

1. log10 (3x+6)=2log10 4 + log10 3
2. log7 (2x^2 - 5x + 31)=2
3. log10 x^2 +9log10 x^2 =40
4. 4^logx(1/3)^-1 = 0.5
5. log1/3 (x+1)+2 log1/3 (x-1) = log1/3 (1-x^2) +2
6. log2 log3x =1

Математика 11 класс Логарифмы и логарифмические уравнения логарифмические уравнения решения уравнений математика 11 класс как решить логарифмы примеры логарифмических уравнений Новый

Давайте рассмотрим каждое из предложенных логарифмических уравнений и найдем их решения шаг за шагом.

1. Уравнение: log10 (3x + 6) = 2log10 4 + log10 3

Сначала упростим правую часть уравнения:

• Используем свойства логарифмов: 2log10 4 = log10 (4^2) = log10 16.
• Теперь у нас есть: log10 (3x + 6) = log10 16 + log10 3.
• Сложим логарифмы на правой стороне: log10 (16 * 3) = log10 48.

Теперь у нас есть уравнение:

log10 (3x + 6) = log10 48.

Так как логарифмы равны, то их аргументы тоже равны:

3x + 6 = 48.

Решим это уравнение:

• 3x = 48 - 6 = 42.
• x = 42 / 3 = 14.

Таким образом, решение: x = 14.

2. Уравнение: log7 (2x^2 - 5x + 31) = 2

Перепишем уравнение в экспоненциальной форме:

2x^2 - 5x + 31 = 7^2 = 49.

Теперь решим квадратное уравнение:

2x^2 - 5x + 31 - 49 = 0, т.е. 2x^2 - 5x - 18 = 0.

Используем дискриминант:

• D = (-5)^2 - 4 * 2 * (-18) = 25 + 144 = 169.

Корни уравнения:

• x1 = (5 + sqrt(169)) / (2 * 2) = (5 + 13) / 4 = 18 / 4 = 4.5.
• x2 = (5 - sqrt(169)) / (2 * 2) = (5 - 13) / 4 = -8 / 4 = -2.

Проверим, какие корни подходят для логарифма (аргумент должен быть положительным):

Для x = 4.5: 2(4.5)^2 - 5(4.5) + 31 = 49 (положительно).

Для x = -2: 2(-2)^2 - 5(-2) + 31 = 55 (положительно).

Таким образом, оба корня подходят, и решения: x = 4.5 и x = -2.

3. Уравнение: log10 x^2 + 9log10 x^2 = 40

Объединим логарифмы:

10log10 x^2 = 40.

Теперь упростим:

log10 x^2 = 40 / 10 = 4.

Перепишем в экспоненциальной форме:

x^2 = 10^4 = 10000.

Теперь найдем x:

• x = ±sqrt(10000) = ±100.

Поскольку логарифм не может принимать отрицательные значения, то x = 100.

4. Уравнение: 4^logx(1/3)^-1 = 0.5

Перепишем 0.5 как 1/2 и упростим уравнение:

4^(-logx(3)) = 1/2.

Теперь используем свойства логарифмов и экспонент:

4 = 2^2, тогда у нас: (2^2)^(-logx(3)) = 2^(-1).

Сравним показатели:

-2logx(3) = -1.

logx(3) = 1/2.

Теперь перепишем в экспоненциальной форме:

x^(1/2) = 3, т.е. x = 3^2 = 9.

5. Уравнение: log1/3 (x + 1) + 2 log1/3 (x - 1) = log1/3 (1 - x^2) + 2

Упрощаем левую часть:

log1/3 (x + 1) + log1/3 ((x - 1)^2) = log1/3 ((x + 1)(x - 1)^2).

На правой стороне: log1/3 (1 - x^2) + 2 = log1/3 (1 - x^2) + log1/3 (9).

Таким образом, у нас:

log1/3 ((x + 1)(x - 1)^2) = log1/3 (9 - 9x^2).

Теперь, так как логарифмы равны, то их аргументы равны:

(x + 1)(x - 1)^2 = 9 - 9x^2.

Решаем это уравнение.

6. Уравнение: log2 (log3 x) = 1

Переписываем в экспоненциальной форме:

log3 x = 2^1 = 2.

Теперь снова переписываем в экспоненциальной форме:

x = 3^2 = 9.

Таким образом, решения для уравнений:

• 1. x = 14
• 2. x = 4.5 и x = -2
• 3. x = 100
• 4. x = 9
• 5. Необходимо решить уравнение, которое мы упростили.
• 6. x = 9