Как найти точку на параболе у2 = 72х с положительной ординатой, которая расположена на одинаковом расстоянии от директрисы, как и фокус параболы?

Математика 11 класс Параболы парабола точка на параболе директрисса фокус параболы положительная ордината расстояние от фокуса математика 11 класс Новый

Чтобы найти точку на параболе, которая расположена на одинаковом расстоянии от директрисы и фокуса, начнем с анализа уравнения параболы и определения необходимых элементов.

1. **Определим параметры параболы**:

• Уравнение параболы: у^2 = 72х.
• Это парабола, открытая вправо, и имеет вид у^2 = 4px, где p - фокусное расстояние.

2. **Найдем фокус и директрису**:

• В данном случае 4p = 72, следовательно, p = 18.
• Фокус параболы находится в точке (p, 0) = (18, 0).
• Директрисой является прямая x = -p = -18.

3. **Обозначим точку на параболе**:

Пусть точка на параболе имеет координаты (x, y), где y^2 = 72x. Мы будем искать такую точку, где расстояние от этой точки до директрисы равно расстоянию до фокуса.

4. **Запишем расстояния**:

• Расстояние от точки (x, y) до директрисы (x = -18) равно |x + 18|.
• Расстояние от точки (x, y) до фокуса (18, 0) равно √((x - 18)^2 + (y - 0)^2) = √((x - 18)^2 + y^2).

5. **Установим равенство расстояний**:

Теперь мы можем записать уравнение:

|x + 18| = √((x - 18)^2 + y^2).

6. **Подставим y^2**:

Так как y^2 = 72x, мы можем заменить y^2 в уравнении:

|x + 18| = √((x - 18)^2 + 72x).

7. **Решим уравнение**:

Для простоты, рассмотрим случай, когда x + 18 ≥ 0 (то есть x ≥ -18):

• x + 18 = √((x - 18)^2 + 72x).

8. **Квадрат обеих сторон**:

(x + 18)^2 = (x - 18)^2 + 72x.

9. **Раскроем скобки**:

• x^2 + 36x + 324 = x^2 - 36x + 324 + 72x.

10. **Упростим уравнение**:

• 36x = 36x, что является верным для всех x ≥ -18.

Таким образом, у нас нет ограничений для x, кроме того, что он должен быть не меньше -18. Теперь найдем y для положительной ординаты:

11. **Выберем значение x**:

Например, возьмем x = 0:

• y^2 = 72 * 0 = 0, следовательно, y = 0 (не подходит).

Теперь попробуем x = 1:

• y^2 = 72 * 1 = 72, следовательно, y = √72 = 6√2 (положительное значение).

12. **Итак, точка на параболе**:

Мы нашли точку (1, 6√2), которая имеет положительную ординату и равные расстояния до фокуса и директрисы.

Таким образом, точка (1, 6√2) является искомой точкой на параболе у^2 = 72x.