Как найти условный экстремум в следующих задачах:

1. x² + y² = 1
2. при условии f = 6 - 4x - 3y

Математика 11 класс Условные экстремумы функций нескольких переменных условный экстремум задачи по математике нахождение экстремума оптимизация функций методы Лагранжа Новый

Для нахождения условного экстремума функции f при заданном ограничении, мы можем использовать метод множителей Лагранжа. Давайте разберем шаги решения этой задачи.

1. Запишем функцию и ограничение:
   • Функция: f(x, y) = 6 - 4x - 3y
   • Ограничение: g(x, y) = x^2 + y^2 - 1 = 0
2. Составим систему уравнений для метода Лагранжа:
   • Мы вводим множитель Лагранжа λ и составляем уравнение: L(x, y, λ) = f(x, y) + λ * g(x, y)
   • Подставляем f и g: L(x, y, λ) = (6 - 4x - 3y) + λ * (x^2 + y^2 - 1)
3. Находим частные производные и приравниваем к нулю:
   • ∂L/∂x = -4 + λ * 2x = 0
   • ∂L/∂y = -3 + λ * 2y = 0
   • ∂L/∂λ = x^2 + y^2 - 1 = 0
4. Решаем систему уравнений:
   1. Из первого уравнения: λ * 2x = 4, отсюда λ = 4/(2x) = 2/x.
   2. Из второго уравнения: λ * 2y = 3, отсюда λ = 3/(2y).
   3. Приравниваем два выражения для λ: 2/x = 3/(2y).
   4. Умножаем на 2xy: 4y = 3x, отсюда x = (4/3)y.
   5. Подставляем x в ограничение g: ((4/3)y)^2 + y^2 = 1.
   6. Решаем: (16/9)y^2 + y^2 = 1, (25/9)y^2 = 1, y^2 = 9/25, y = ±3/5.
   7. Находим x: x = (4/3)(3/5) = 4/5 и x = (4/3)(-3/5) = -4/5.
5. Находим точки экстремума:
   • (4/5, 3/5)
   • (-4/5, -3/5)
   • (4/5, -3/5)
   • (-4/5, 3/5)
6. Вычисляем значение функции f в найденных точках:
   • f(4/5, 3/5) = 6 - 4(4/5) - 3(3/5) = 6 - 16/5 - 9/5 = 6 - 25/5 = 1.
   • f(-4/5, -3/5) = 6 + 16/5 + 9/5 = 6 + 25/5 = 11.
   • f(4/5, -3/5) = 6 - 4(4/5) + 3(3/5) = 6 - 16/5 + 9/5 = 6 - 7/5 = 5/5 = 1.
   • f(-4/5, 3/5) = 6 + 16/5 - 9/5 = 6 + 7/5 = 11.

Таким образом, мы нашли условные экстремумы функции f при заданном ограничении. Точки (4/5, 3/5) и (-4/5, -3/5) дают максимальное значение f = 11, а точки (4/5, -3/5) и (-4/5, 3/5) дают минимальное значение f = 1.