Чтобы найти все целочисленные решения уравнения 5x + 3y = 17, мы можем следовать нескольким шагам:
- Изолируем одну переменную. В данном случае, давайте выразим y через x:
- 3y = 17 - 5x
- y = (17 - 5x) / 3
- Определяем, при каких значениях x выражение (17 - 5x) делится на 3. Это необходимо, поскольку y должно быть целым числом. Мы можем записать это в виде:
- Находим остатки от деления:
- 17 mod 3 = 2, так как 17 = 3 * 5 + 2.
- 5 mod 3 = 2, так как 5 = 3 * 1 + 2.
- Подставляем в уравнение:
- 2 - 2x ≡ 0 (mod 3)
- 2x ≡ 2 (mod 3)
- Решаем это уравнение:
- Мы можем поделить обе стороны на 2, что дает x ≡ 1 (mod 3).
- Записываем общее решение для x: x может принимать значения вида:
- x = 3k + 1, где k – целое число.
- Теперь подставим это значение x обратно в уравнение для y:
- y = (17 - 5(3k + 1)) / 3
- y = (17 - 15k - 5) / 3
- y = (12 - 15k) / 3
- y = 4 - 5k.
- Таким образом, целочисленные решения уравнения имеют вид:
- (x, y) = (3k + 1, 4 - 5k), где k – целое число.
Теперь мы можем подставить различные значения k (например, -2, -1, 0, 1, 2 и т.д.) для получения конкретных целочисленных решений.