Как найти все целочисленные решения уравнения: 5x + 3y = 17?

Математика 11 класс Целочисленные уравнения целочисленные решения уравнение 5x + 3y = 17 математика 11 класс методы решения уравнений диофантовы уравнения Новый

Чтобы найти все целочисленные решения уравнения 5x + 3y = 17, мы можем следовать нескольким шагам:

1. Изолируем одну переменную. В данном случае, давайте выразим y через x:
• 3y = 17 - 5x
• y = (17 - 5x) / 3
2. Определяем, при каких значениях x выражение (17 - 5x) делится на 3. Это необходимо, поскольку y должно быть целым числом. Мы можем записать это в виде:
• 17 - 5x ≡ 0 (mod 3)
3. Находим остатки от деления:
• 17 mod 3 = 2, так как 17 = 3 * 5 + 2.
• 5 mod 3 = 2, так как 5 = 3 * 1 + 2.
4. Подставляем в уравнение:
• 2 - 2x ≡ 0 (mod 3)
• 2x ≡ 2 (mod 3)
5. Решаем это уравнение:
• Мы можем поделить обе стороны на 2, что дает x ≡ 1 (mod 3).
6. Записываем общее решение для x: x может принимать значения вида:
• x = 3k + 1, где k – целое число.
7. Теперь подставим это значение x обратно в уравнение для y:
• y = (17 - 5(3k + 1)) / 3
• y = (17 - 15k - 5) / 3
• y = (12 - 15k) / 3
• y = 4 - 5k.
8. Таким образом, целочисленные решения уравнения имеют вид:
• (x, y) = (3k + 1, 4 - 5k), где k – целое число.

Теперь мы можем подставить различные значения k (например, -2, -1, 0, 1, 2 и т.д.) для получения конкретных целочисленных решений.