Как найти все локальные экстремумы и седловые точки функции:

f(x,y) = y^3 + 3x^2y - 3x^2 - 3y^2 + 3?

Математика 11 класс Критерии экстремумов функций нескольких переменных локальные экстремумы седловые точки функции двух переменных математика 11 класс анализ функции Новый

Для нахождения локальных экстремумов и седловых точек функции двух переменных f(x, y) = y^3 + 3x^2y - 3x^2 - 3y^2 + 3, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Находим частные производные:

• Частная производная по x: f_x = ∂f/∂x = 6xy - 6.
• Частная производная по y: f_y = ∂f/∂y = 3y^2 + 3x^2 - 6y.

2. Находим критические точки:

Критические точки находятся там, где обе частные производные равны нулю:

1. Решаем уравнение f_x = 0: 6xy - 6 = 0.
2. Решаем уравнение f_y = 0: 3y^2 + 3x^2 - 6y = 0.

3. Решаем систему уравнений:

Из первого уравнения получаем:

• xy = 1, откуда y = 1/x (при x ≠ 0).

Подставляем это значение во второе уравнение:

• 3(1/x)^2 + 3x^2 - 6(1/x) = 0.

Умножаем на x^2 (при x ≠ 0):

• 3 + 3x^4 - 6x = 0.

Это уравнение можно привести к стандартному виду:

• 3x^4 - 6x + 3 = 0.

Теперь делим все на 3:

• x^4 - 2x + 1 = 0.

Решаем это уравнение, используя метод подбора или численные методы. Предположим, что x = 1 — это корень:

• 1^4 - 2*1 + 1 = 0.

Теперь делим многочлен на (x - 1):

• x^4 - 2x + 1 = (x - 1)(x^3 + x^2 - x - 1).

Теперь находим корни кубического уравнения x^3 + x^2 - x - 1 = 0. Проверим x = 1:

• 1 + 1 - 1 - 1 = 0.

Таким образом, x = 1 - это корень. Делим на (x - 1) и находим оставшийся многочлен:

• x^3 + x^2 - x - 1 = (x - 1)(x^2 + 2x + 1) = (x - 1)(x + 1)^2.

Таким образом, у нас есть корни:

• x = 1 и x = -1.

4. Находим соответствующие значения y:

Теперь подставим найденные значения x в уравнение y = 1/x:

• Для x = 1: y = 1.
• Для x = -1: y = -1.

Таким образом, критические точки: (1, 1) и (-1, -1).

5. Находим второй порядок производных:

• f_xx = ∂²f/∂x² = 6y.
• f_yy = ∂²f/∂y² = 6y - 6.
• f_xy = ∂²f/∂x∂y = 6x.

6. Вычисляем детерминант Гессиана:

G = f_xx * f_yy - (f_xy)^2.

Теперь подставим критические точки:

• Для точки (1, 1): G = 6 * 0 - (6 * 1)^2 = -36 (седловая точка).
• Для точки (-1, -1): G = -6 * (-12) - (-6)^2 = 72 - 36 = 36 (локальный минимум).

7. Результаты:

• Точка (1, 1) — седловая точка.
• Точка (-1, -1) — локальный минимум.

Таким образом, мы нашли все локальные экстремумы и седловые точки функции f(x, y).