Как найти значение параметра a из пересдачи ЕГЭ 2024?

Параметр выглядит следующим образом:

• |x-4| + |y-4| = a
• xy = 4

При каком значении параметра a уравнение имеет ровно 2 решения?

Я получил 2 балла за ответ: {3} U (4;12), но хотел бы узнать, какой ответ правильный.

Математика 11 класс Параметры и их влияние на количество решений уравнений значение параметра a пересдача ЕГЭ 2024 уравнение с модулем решения уравнения математика 11 класс параметры в уравнении нахождение a условия для решений система уравнений математические задачи Новый

Чтобы найти значение параметра a, при котором система уравнений:

• |x - 4| + |y - 4| = a
• xy = 4

имеет ровно 2 решения, рассмотрим каждое уравнение отдельно.

Первое уравнение, |x - 4| + |y - 4| = a, представляет собой ромб в координатной плоскости с центром в точке (4, 4) и "размерами" a. Это означает, что сумма расстояний от точки (x, y) до точки (4, 4) равна a.

Второе уравнение, xy = 4, задает гиперболу, которая имеет асимптоты, проходящие через точки (4, 1) и (1, 4), а также (4, -1) и (-1, 4).

Теперь, чтобы найти значения a, при которых система имеет ровно 2 решения, нужно понять, как эти две фигуры пересекаются.

1. **Определим, когда ромб касается гиперболы.**

1. Гипербола xy = 4 имеет две ветви: одна в первой и третьей четвертях, другая - во второй и четвертой.
2. Ромб будет касаться гиперболы, когда его стороны пересекают гиперболу в двух точках.

2. **Найдём точки пересечения.**

Для этого подставим выражение y из гиперболы в уравнение ромба:

• y = 4/x

Подставляем это в уравнение ромба:

• |x - 4| + |(4/x) - 4| = a

3. **Решим это уравнение для различных случаев.**

Рассмотрим случаи для x:

• Если x >= 4, то |x - 4| = x - 4 и |(4/x) - 4| = 4/x - 4.
• Если x < 4, то |x - 4| = 4 - x и |(4/x) - 4| = 4 - 4/x.

4. **Найдём значение a для касания.**

Чтобы система имела ровно 2 решения, необходимо, чтобы ромб касался гиперболы в одной из ветвей. Это происходит, когда a соответствует минимальному расстоянию от центра ромба (4, 4) до гиперболы.

5. **Вычислим минимальное значение a.**

Минимальное значение a будет равно расстоянию от точки (4, 4) до ближайшей точки на гиперболе. Находим, что минимальное значение a = 4, когда ромб касается гиперболы.

6. **Определим границы a.**

На основании анализа, можно сказать, что:

• Для a < 4 - нет решений.
• Для 4 <= a <= 12 - есть решения.
• Для a > 12 - снова нет решений.

Таким образом, правильный ответ на ваш вопрос: значение параметра a, при котором уравнение имеет ровно 2 решения, - это {4} U (4; 12).