Как определить максимальные и минимальные значения функции z = -3x - 2y + xy в квадрате, при условии, что 0 <= x <= 4 и 0 <= y <= 4?

Пожалуйста, решите эту задачу.

Существуют ли онлайн-калькуляторы, способные решать подобные задачи?

Математика 11 класс Оптимизация функций двух переменных максимальные и минимальные значения функции задача по математике 11 класс решение задачи с ограничениями онлайн-калькуляторы для математики функции двух переменных Новый

Чтобы найти максимальные и минимальные значения функции z = -3x - 2y + xy² при условии, что x и y находятся в пределах от 0 до 1 (0 ≤ x ≤ 1 и 0 ≤ y ≤ 1), мы будем использовать метод, который включает в себя следующие шаги:

1. Определение области допустимых значений.

   Поскольку x и y ограничены от 0 до 1, мы будем рассматривать функцию z в квадрате, заданном этими границами.

2. Нахождение частных производных.

   Для нахождения критических точек функции z, мы найдем частные производные по x и y, и приравняем их к нулю:

   • Частная производная по x: ∂z/∂x = -3 + y²
   • Частная производная по y: ∂z/∂y = -2 + 2xy
3. Решение системы уравнений.

   Теперь мы решим систему уравнений:

   • -3 + y² = 0
   • -2 + 2xy = 0

   Решая первое уравнение, получаем y² = 3, что не дает допустимого значения для y в пределах от 0 до 1. Поэтому мы перейдем ко второму уравнению:

   • 2xy = 2, следовательно, xy = 1.

   Это уравнение также не имеет решений в пределах от 0 до 1, поэтому будем рассматривать границы области.

4. Проверка значений на границах.

   Теперь нам нужно проверить значения функции z на границах области:

   • z(0, 0) = -3*0 - 2*0 + 0*0² = 0
   • z(0, 1) = -3*0 - 2*1 + 0*1² = -2
   • z(1, 0) = -3*1 - 2*0 + 1*0² = -3
   • z(1, 1) = -3*1 - 2*1 + 1*1² = -3 - 2 + 1 = -4
5. Сравнение значений.

   Теперь сравним полученные значения:

   • z(0, 0) = 0
   • z(0, 1) = -2
   • z(1, 0) = -3
   • z(1, 1) = -4

   Максимальное значение z = 0, минимальное значение z = -4.

Ответ: Максимальное значение функции z = 0, минимальное значение функции z = -4.