Как определить максимальные и минимальные значения выражения sin x - √3 cos x?

Математика 11 класс Наибольшее и наименьшее значения функции максимальные значения минимальные значения sin x cos x математический анализ тригонометрические функции экстремумы функции Новый

Чтобы определить максимальные и минимальные значения выражения sin x - √3 cos x, мы можем использовать метод преобразования выражения в более удобную форму. Давайте рассмотрим шаги решения:

1. Прежде всего, мы можем выразить данное выражение в виде A sin(x + φ), где A - амплитуда, а φ - угол сдвига. Это можно сделать, используя формулу для суммы синусов:

   sin(x + φ) = sin x cos φ + cos x sin φ

2. Сравнивая sin x - √3 cos x с A sin(x + φ), мы видим, что:

   • A cos φ = 1 (коэффициент при sin x)
   • A sin φ = -√3 (коэффициент при cos x)

3. Теперь найдем A. Для этого воспользуемся формулой:

   A = √((A cos φ)² + (A sin φ)²)

   Подставим значения:

   A = √(1² + (-√3)²) = √(1 + 3) = √4 = 2

4. Теперь найдем угол φ. Для этого используем соотношения:

   tan φ = (A sin φ) / (A cos φ) = -√3 / 1 = -√3

   Это указывает на то, что φ = -π/3 или φ = 2π/3 (в зависимости от четверти).

5. Теперь мы можем переписать исходное выражение:

   sin x - √3 cos x = 2 sin(x - π/3)

6. Зная, что амплитуда A = 2, мы можем определить максимальные и минимальные значения:

   • Максимальное значение: 2 (когда sin(x - π/3) = 1)
   • Минимальное значение: -2 (когда sin(x - π/3) = -1)

Таким образом, максимальное значение выражения sin x - √3 cos x равно 2, а минимальное значение равно -2.