Как определить минимум функции g(x)=3x^5-20x^3?

Математика 11 класс Минимумы и максимумы функций минимум функции g(x) 3x^5-20x^3 определение минимума математический анализ Новый

Чтобы определить минимум функции g(x) = 3x^5 - 20x^3, нам нужно выполнить несколько шагов, связанных с нахождением производной и ее анализом. Давайте рассмотрим процесс подробно:

1. Найти производную функции g(x).

Сначала найдем первую производную функции g(x). Для этого применим правило дифференцирования:

• Производная от 3x^5 равна 15x^4.
• Производная от -20x^3 равна -60x^2.

Таким образом, первая производная g'(x) будет:

g'(x) = 15x^4 - 60x^2.
2. Найти критические точки.

Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. Установим g'(x) = 0:

15x^4 - 60x^2 = 0.

Можно вынести общий множитель:

15x^2(x^2 - 4) = 0.

Теперь решим это уравнение:

• 15x^2 = 0, что дает x = 0.
• x^2 - 4 = 0, что дает x = 2 и x = -2.

Таким образом, критические точки: x = -2, x = 0, x = 2.

3. Провести анализ второй производной.

Теперь найдем вторую производную g''(x), чтобы определить, является ли каждая критическая точка минимумом или максимумом:

• Производная от 15x^4 равна 60x^3.
• Производная от -60x^2 равна -120x.

Таким образом, вторая производная:

g''(x) = 60x^3 - 120x.

Теперь установим g''(x) = 0 для нахождения точек перегиба:

60x(x^2 - 2) = 0.

Это уравнение дает:

• x = 0,
• x^2 - 2 = 0, что дает x = √2 и x = -√2.
4. Определить знак второй производной в критических точках.

Теперь проверим знак второй производной в критических точках:

• Для x = -2: g''(-2) = 60(-2)^3 - 120(-2) = -480 + 240 = -240 (максимум).
• Для x = 0: g''(0) = 60(0)^3 - 120(0) = 0 (неопределенно, нужно проверить знаки по обе стороны).
• Для x = 2: g''(2) = 60(2)^3 - 120(2) = 480 - 240 = 240 (минимум).

Таким образом, мы можем сделать вывод:

• Точка x = -2 является максимумом.
• Точка x = 0 требует дополнительного анализа, но не является минимумом.
• Точка x = 2 является минимумом.

Итак, минимум функции g(x) находится в точке x = 2.