Как определить промежутки монотонности для следующих функций:

1. y=2x^3+3x^2-100
2. y=x^3+2x^2+6
3. y=5x^2+15x-1
4. y=60+45x-3x^2-x^3
5. y=-3x+6x^2-100

Математика 11 класс Промежутки монотонности функций промежутки монотонности функции производная анализ функций математика 11 класс графики функций экстремумы исследование функций Новый

Чтобы определить промежутки монотонности для функций, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции. Производная функции показывает, как изменяется функция при изменении переменной. Если производная положительна, функция возрастает, если отрицательна - убывает.
2. Определить нули производной. Найдите значения x, при которых производная равна нулю. Эти значения могут быть точками экстремума (максимума или минимума).
3. Построить знак производной на интервалах. Разделите числовую ось на интервалы, используя найденные нули производной, и определите знак производной на каждом из этих интервалов.
4. Сформулировать промежутки монотонности. На основе знака производной укажите, на каких интервалах функция возрастает или убывает.

Теперь применим этот алгоритм к каждой из заданных функций.

1. y = 2x^3 + 3x^2 - 100

• Находим производную: y' = 6x^2 + 6.
• Решаем уравнение 6x^2 + 6 = 0. Здесь нет действительных корней, так как 6x^2 + 6 > 0 для всех x.
• Таким образом, y' > 0 на всей числовой оси, значит, функция возрастает на интервале (-∞, +∞).

2. y = x^3 + 2x^2 + 6

• Находим производную: y' = 3x^2 + 4.
• Решаем уравнение 3x^2 + 4 = 0. Здесь также нет действительных корней, так как 3x^2 + 4 > 0 для всех x.
• Следовательно, y' > 0 на всей числовой оси. Функция возрастает на интервале (-∞, +∞).

3. y = 5x^2 + 15x - 1

• Находим производную: y' = 10x + 15.
• Решаем уравнение 10x + 15 = 0. Получаем x = -1.5.
• Определяем знак производной:
• Для x < -1.5: y' < 0 (функция убывает).
• Для x > -1.5: y' > 0 (функция возрастает).
• Итак, функция убывает на интервале (-∞, -1.5) и возрастает на интервале (-1.5, +∞).

4. y = 60 + 45x - 3x^2 - x^3

• Находим производную: y' = 45 - 6x - 3x^2.
• Решаем уравнение -3x^2 - 6x + 45 = 0. Находим корни с помощью дискриминанта: D = (-6)^2 - 4(-3)(45) = 36 + 540 = 576. Корни: x1 = -3, x2 = 5.
• Определяем знак производной:
• Для x < -3: y' > 0 (функция возрастает).
• Для -3 < x < 5: y' < 0 (функция убывает).
• Для x > 5: y' > 0 (функция возрастает).
• Таким образом, функция возрастает на интервалах (-∞, -3) и (5, +∞), и убывает на интервале (-3, 5).

5. y = -3x + 6x^2 - 100

• Находим производную: y' = -3 + 12x.
• Решаем уравнение -3 + 12x = 0. Получаем x = 0.25.
• Определяем знак производной:
• Для x < 0.25: y' < 0 (функция убывает).
• Для x > 0.25: y' > 0 (функция возрастает).
• Функция убывает на интервале (-∞, 0.25) и возрастает на интервале (0.25, +∞).

Таким образом, для каждой функции мы определили промежутки монотонности. Если у вас есть вопросы по какому-либо из шагов, не стесняйтесь спрашивать!