Как построить график функции y=(6x+7)/(6x^2+7x) и выяснить, при каких значениях k прямая y=kx пересекает график в ровно одной точке?

Математика 11 класс Графики функций и пересечение с прямыми график функции построение графика y=(6x+7)/(6x^2+7x) прямая y=kx пересечение графиков значения k ровно одна точка математика 11 класс анализ функции свойства функции исследование функции Новый

Давайте разберем, как построить график функции y=(6x+7)/(6x^2+7x) и выяснить, при каких значениях k прямая y=kx пересекает график в ровно одной точке.

Шаг 1: Определение области определения функции

• Чтобы найти область определения функции, нужно определить, при каких значениях x знаменатель 6x^2 + 7x равен нулю.
• Решим уравнение: 6x^2 + 7x = 0.
• Факторизуем: x(6x + 7) = 0, откуда x = 0 или x = -7/6.
• Таким образом, область определения функции: x ∈ R, x ≠ 0, x ≠ -7/6.

Шаг 2: Исследование функции

• Найдем асимптоты. Для этого рассмотрим поведение функции при x → ∞ и x → -∞.
• При x → ∞ и x → -∞ функция стремится к 0, так как степень числителя меньше степени знаменателя.
• Вертикальные асимптоты будут в точках x = 0 и x = -7/6.

Шаг 3: Нахождение производной

• Для нахождения экстремумов функции найдем производную y' и приравняем ее к нулю.
• Используем правило частного: y' = (f'g - fg')/g^2, где f = 6x + 7 и g = 6x^2 + 7x.
• После нахождения производной, решим уравнение y' = 0 для нахождения критических точек.

Шаг 4: Построение графика

• На основе найденных асимптот и критических точек можно построить график функции.
• Отметьте асимптоты на координатной плоскости и укажите критические точки.
• Проведите график, учитывая поведение функции при различных значениях x.

Шаг 5: Пересечение с прямой y=kx

• Чтобы выяснить, при каких значениях k прямая y=kx пересекает график функции в ровно одной точке, подставим y=kx в уравнение функции:
• (6x+7)/(6x^2+7x) = kx.
• Приведем уравнение к общему виду и упростим его:
• 6x + 7 = kx(6x^2 + 7x).
• Переносим все в одну сторону:
• kx(6x^2 + 7x) - 6x - 7 = 0.
• Это уравнение является кубическим. Для того чтобы прямая пересекала график в одной точке, необходимо, чтобы это уравнение имело ровно один корень.
• Это возможно, если дискриминант производной этого кубического уравнения равен нулю.
• Таким образом, необходимо найти значения k, при которых дискриминант равен нулю.

В итоге, мы построили график функции и выяснили, что прямая y=kx пересекает график функции в ровно одной точке при определенных значениях k, которые можно найти, решая соответствующее уравнение.