Как построить линию, заданную уравнением в полярной системе координат, и найти ее уравнение в декартовой системе координат, а также определить, какая это линия?

Математика 11 класс Полярные координаты и преобразование уравнений линия в полярной системе уравнение в декартовой системе тип линии построение линии координаты математика Новый

Давайте рассмотрим, как построить линию, заданную уравнением в полярной системе координат, и затем найдем ее уравнение в декартовой системе координат. Также мы определим, какая это линия.

Предположим, у нас есть уравнение в полярной системе координат, например:

r = 2 + 2sin(θ)

Шаги для построения линии и преобразования уравнения:

1. Построение линии в полярной системе:
   • Сначала мы выбираем значения угла θ. Обычно мы берем θ от 0 до 2π (0 до 360 градусов).
   • Для каждого значения θ мы вычисляем соответствующее значение радиуса r по формуле.
   • Например, если θ = 0, то r = 2 + 2sin(0) = 2. Если θ = π/2, то r = 2 + 2sin(π/2) = 4.
   • После вычисления значений r для нескольких углов, мы можем начертить точки на полярной системе координат и соединить их, чтобы получить линию.
2. Преобразование уравнения в декартовую систему координат:
   • В полярной системе координат мы знаем, что x = r * cos(θ) и y = r * sin(θ).
   • Подставим r из нашего уравнения: r = 2 + 2sin(θ).
   • Теперь, используя тригонометрические функции, мы можем выразить r как √(x² + y²).
   • Таким образом, у нас получится система уравнений:
   • √(x² + y²) = 2 + 2(y/√(x² + y²))
   • Умножим обе стороны на √(x² + y²):
   • x² + y² = (2 + 2(y/√(x² + y²))) * √(x² + y²)
   • После упрощения и приведения к стандартному виду мы получим уравнение в декартовой системе координат.
3. Определение типа линии:
   • После преобразования уравнения в декартовой системе координат, мы можем проанализировать его.
   • В данном случае уравнение (x² + y² - 2y) = 0 можно упростить до (x² + (y - 1)² = 1), что соответствует уравнению окружности с центром в (0, 1) и радиусом 1.

Таким образом, мы построили линию, преобразовали уравнение в декартовую систему координат и определили, что это окружность.