Как применить формулы Крамера для решения системы линейных уравнений, если у нас есть следующие уравнения:

1. 5x + 8y + z = 2
2. 3x - 2y + 6z = -7
3. 2x + y - z = -5

Математика 11 класс Системы линейных уравнений. Формулы Крамера формулы Крамера Система линейных уравнений решение уравнений математика 11 класс методы решения систем линейные уравнения Новый

Для решения системы линейных уравнений с помощью формул Крамера, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

Шаг 1: Записать систему уравнений в матричной форме

Сначала мы представим нашу систему уравнений в виде матрицы коэффициентов и векторного столбца свободных членов. У нас есть следующие уравнения:

• 5x + 8y + z = 2
• 3x - 2y + 6z = -7
• 2x + y - z = -5

Матрица коэффициентов A будет выглядеть так:

• A = [[5, 8, 1], [3, -2, 6], [2, 1, -1]]

Вектор свободных членов B будет:

• B = [2, -7, -5]

Шаг 2: Найти определитель матрицы коэффициентов

Теперь мы найдем определитель матрицы A (обозначим его |A|). Для 3x3 матрицы он вычисляется по формуле:

|A| = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg),

где матрица имеет вид:

[[a, b, c], [d, e, f], [g, h, i]]

В нашем случае:

• a = 5, b = 8, c = 1
• d = 3, e = -2, f = 6
• g = 2, h = 1, i = -1

Теперь подставим значения:

• |A| = 5((-2)(-1) - (6)(1)) - 8((3)(-1) - (6)(2)) + 1((3)(1) - (-2)(2))

Посчитаем:

• |A| = 5(2 - 6) - 8(-3 - 12) + 1(3 + 4)
• |A| = 5(-4) - 8(-15) + 1(7)
• |A| = -20 + 120 + 7 = 107

Шаг 3: Найти определители матриц для x, y и z

Теперь мы найдем определители матриц, заменяя соответствующие столбцы на вектор B.

Определитель для x (|A_x|):

• Заменяем первый столбец матрицы A на вектор B:
• |A_x| = [[2, 8, 1], [-7, -2, 6], [-5, 1, -1]]

Теперь вычислим |A_x|:

• |A_x| = 2((-2)(-1) - (6)(1)) - 8((-7)(-1) - (6)(-5)) + 1((-7)(1) - (-2)(-5))

После расчетов получаем |A_x| = 2(2 - 6) - 8(7 + 30) + 1(-7 - 10) = -8 - 296 - 17 = -321.

Определитель для y (|A_y|):

• Заменяем второй столбец матрицы A на вектор B:
• |A_y| = [[5, 2, 1], [3, -7, 6], [2, -5, -1]]

Вычисляем |A_y|:

• |A_y| = 5((-7)(-1) - (6)(-5)) - 2((3)(-1) - (6)(2)) + 1((3)(-5) - (-7)(2))

После расчетов получаем |A_y| = 5(7 + 30) - 2(-3 - 12) + 1(-15 + 14) = 185 + 30 - 1 = 214.

Определитель для z (|A_z|):

• Заменяем третий столбец матрицы A на вектор B:
• |A_z| = [[5, 8, 2], [3, -2, -7], [2, 1, -5]]

Вычисляем |A_z|:

• |A_z| = 5((-2)(-5) - (-7)(1)) - 8((3)(-5) - (-7)(2)) + 2((3)(1) - (-2)(2))

После расчетов получаем |A_z| = 5(10 + 7) - 8(-15 + 14) + 2(3 + 4) = 85 + 8 + 14 = 107.

Шаг 4: Найти значения переменных

Теперь мы можем найти значения переменных x, y и z, используя формулы Крамера:

• x = |A_x| / |A| = -321 / 107
• y = |A_y| / |A| = 214 / 107
• z = |A_z| / |A| = 107 / 107

Шаг 5: Записать окончательные результаты

После расчетов мы получаем:

• x = -3
• y = 2
• z = 1

Таким образом, решение системы уравнений:

x = -3, y = 2, z = 1.