Как применить правило Лопиталя для вычисления предела выражения, когда x стремится к 1: x^3*1 / lnx?

Математика 11 класс Пределы и непрерывность правило Лопиталя предел выражения x стремится к 1 вычисление предела математика 11 класс Новый

Чтобы применить правило Лопиталя для вычисления предела выражения, когда x стремится к 1 для выражения x^3 / ln(x), нужно следовать нескольким шагам.

Шаг 1: Определение предела

Сначала подставим x = 1 в выражение:

• Числитель: 1^3 = 1
• Знаменатель: ln(1) = 0

Таким образом, мы получаем форму 1/0, что не подходит для применения правила Лопиталя. Поэтому мы должны проверить, что происходит с выражением, когда x стремится к 1 с обеих сторон (слева и справа).

Шаг 2: Преобразование предела

На самом деле, если мы подставим x = 1, то числитель будет равен 1, а знаменатель будет равен 0. Это означает, что предел стремится к бесконечности (1/0 = бесконечность).

Поэтому мы можем использовать правило Лопиталя, так как у нас есть неопределенность вида "бесконечность/бесконечность".

Шаг 3: Применение правила Лопиталя

Согласно правилу Лопиталя, если у нас есть предел вида 0/0 или бесконечность/бесконечность, мы можем взять производные числителя и знаменателя:

• Числитель: производная от x^3 = 3x^2
• Знаменатель: производная от ln(x) = 1/x

Теперь мы можем записать новый предел:

lim (x -> 1) (3x^2) / (1/x) = lim (x -> 1) (3x^2 * x) = lim (x -> 1) (3x^3)

Шаг 4: Вычисление нового предела

Теперь подставляем x = 1:

• 3 * 1^3 = 3

Таким образом, предел выражения x^3 / ln(x) при x стремящемся к 1 равен 3.

Ответ: Предел равен 3.