Для того чтобы провести исследование функции y = 3x^4 + 4x^3 + 12x^2 - 10 и построить её график, необходимо выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

Функция y = 3x^4 + 4x^3 + 12x^2 - 10 является многочленом, а значит, её область определения — это все действительные числа. То есть, область определения: x ∈ R.

Для исследования функции необходимо найти её производную, что поможет определить критические точки и интервалы возрастания и убывания.

1. Находим первую производную:
2. y' = 12x^3 + 12x^2 + 24x.

Критические точки находятся при равенстве производной нулю:

1. 12x^3 + 12x^2 + 24x = 0.
2. Вынесем общий множитель:
3. 12x(x^2 + x + 2) = 0.

Это уравнение имеет один корень x = 0. Второе уравнение x^2 + x + 2 = 0 не имеет действительных корней (дискриминант меньше нуля).

Теперь нужно исследовать знак производной на интервалах, определяемых критической точкой x = 0:

• Выбираем тестовые точки: x < 0 (например, x = -1) и x > 0 (например, x = 1).
• Для x = -1: y'(-1) = 12(-1)^3 + 12(-1)^2 + 24(-1) = -12 + 12 - 24 = -24 (отрицательно, значит функция убывает).
• Для x = 1: y'(1) = 12(1)^3 + 12(1)^2 + 24(1) = 12 + 12 + 24 = 48 (положительно, значит функция возрастает).

Таким образом, функция убывает на интервале (-∞, 0) и возрастает на интервале (0, +∞).

Теперь найдем значение функции в критической точке x = 0:

1. y(0) = 3(0)^4 + 4(0)^3 + 12(0)^2 - 10 = -10.

Это значение будет являться минимумом функции.

Теперь найдем пределы функции при x стремящемся к бесконечности:

• При x → +∞: y → +∞ (так как старший член положительный).
• При x → -∞: y → +∞ (так как старший член также положительный).

Теперь у нас есть вся необходимая информация для построения графика:

• Область определения: x ∈ R.
• Критическая точка: (0, -10) — минимум.
• Функция убывает на (-∞, 0) и возрастает на (0, +∞).
• Пределы: y → +∞ при x → ±∞.

С учетом этих данных можно построить график функции, который будет выглядеть как U-образная кривая с минимумом в точке (0, -10).