Как провести полное исследование функции и построить график f(x) = (x² + 3x - 4) / (x - 2)?

Математика 11 класс Полное исследование функции и графики рациональных функций полное исследование функции график функции f(x) = (x² + 3x - 4) / (x - 2) математический анализ свойства функции нахождение пределов Асимптоты функции производная функции нули функции построение графика Новый

Для полного исследования функции f(x) = (x² + 3x - 4) / (x - 2) нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

1. Определение области определения функции:

Область определения – это все значения x, для которых функция f(x) имеет смысл. В данном случае, дробь не должна принимать значение, при котором знаменатель равен нулю.

• Знаменатель: x - 2 = 0
• Следовательно, x = 2.

Таким образом, область определения функции: x ∈ R, x ≠ 2.

2. Нахождение пределов:

Найдем предел функции при x, стремящемся к 2, чтобы понять поведение функции в этой точке.

• lim (x → 2) f(x) = lim (x → 2) (x² + 3x - 4) / (x - 2).
• Подставим x = 2: (2² + 3*2 - 4) / (2 - 2) = (4 + 6 - 4) / 0 = 6 / 0.

Предел не существует, так как знаменатель стремится к нулю. Это говорит о том, что в точке x = 2 у нас есть разрыв.

3. Нахождение нулей функции:

Чтобы найти нули функции, приравняем числитель к нулю:

• x² + 3x - 4 = 0.

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

• D = b² - 4ac = 3² - 4*1*(-4) = 9 + 16 = 25.
• Корни: x₁ = (-b + √D) / 2a = (-3 + 5) / 2 = 1 и x₂ = (-b - √D) / 2a = (-3 - 5) / 2 = -4.

Таким образом, нули функции находятся в точках x = 1 и x = -4.

4. Исследование на знаки:

Теперь исследуем функцию на знаки в интервалах, определяемых нулями и разрывом:

• Интервалы: (-∞, -4), (-4, 1), (1, 2), (2, +∞).

Выберем тестовые значения из каждого интервала:

• Для x = -5: f(-5) = ((-5)² + 3*(-5) - 4) / ((-5) - 2) = (25 - 15 - 4) / (-7) = 6 / (-7) < 0.
• Для x = -2: f(-2) = ((-2)² + 3*(-2) - 4) / ((-2) - 2) = (4 - 6 - 4) / (-4) = (-6) / (-4) > 0.
• Для x = 1.5: f(1.5) = (1.5² + 3*1.5 - 4) / (1.5 - 2) = (2.25 + 4.5 - 4) / (-0.5) = 2.75 / (-0.5) < 0.
• Для x = 3: f(3) = (3² + 3*3 - 4) / (3 - 2) = (9 + 9 - 4) / 1 = 14 > 0.

Таким образом, знаки функции:

• (-∞, -4): f < 0
• (-4, 1): f > 0
• (1, 2): f < 0
• (2, +∞): f > 0

5. Нахождение производной:

Теперь найдем производную функции для определения точек экстремума:

f'(x) = [ (2x + 3)(x - 2) - (x² + 3x - 4)(1) ] / (x - 2)².

Приравниваем производную к нулю и решаем уравнение для нахождения критических точек.

6. Построение графика:

Собрав всю информацию, мы можем построить график функции:

• Отметим точки разрыва (x = 2).
• Отметим нули функции (x = 1 и x = -4).
• Отметим знаки функции на интервалах.
• Добавим точки экстремума, если они есть.

График будет представлять собой гиперболу с разрывом в точке x = 2 и пересечениями с осью x в точках x = -4 и x = 1.

Таким образом, мы провели полное исследование функции f(x) и можем построить ее график, учитывая все найденные данные.