Как решить неравенство: x^2 * log625(2-x) <= log5(x^2 - 4x + 4)?

Математика 11 класс Неравенства с логарифмами и квадратными выражениями неравенство решение неравенства логарифмы математика 11 класс x^2 log625 log5 алгебра математические задачи подготовка к экзамену Новый

Чтобы решить неравенство x^2 * log625(2-x) > 0, давайте разберем его по частям.

Первым делом, мы должны определить область определения логарифма log625(2-x). Логарифм определен только для положительных значений, поэтому нам нужно, чтобы 2-x > 0. Это означает:

1. 2 - x > 0
2. x < 2

Таким образом, область определения неравенства - это x < 2.

Теперь давайте разберем само неравенство:

Неравенство x^2 * log625(2-x) > 0 будет истинным, если оба множителя положительны или оба отрицательны. Рассмотрим каждый из множителей:

• x^2: Этот множитель всегда неотрицателен, так как квадрат любого числа не может быть отрицательным. Он равен нулю только в точке x = 0.
• log625(2-x): Используем свойство логарифмов для преобразования. Мы можем переписать log625(2-x) как log(2-x) / log(625). Поскольку log(625) > 0, знак логарифма будет зависеть от знака (2-x).

Теперь мы знаем, что log625(2-x) > 0, когда 2-x > 1, что эквивалентно 2 > x + 1 или x < 1.

Таким образом, у нас есть два условия:

• x < 2 (область определения)
• x < 1 (условие для логарифма)

Теперь давайте объединим эти условия. Наименьшее значение из этих двух условий - это x < 1.

Теперь мы проверим, что происходит в точке x = 0:

• При x = 0: x^2 * log625(2-0) = 0 * log625(2) = 0 (неравенство не выполняется).

Таким образом, неравенство выполняется для всех x в интервале (-∞, 0) и (0, 1).

Итак, окончательный ответ:

x ∈ (-∞, 0) ∪ (0, 1).