2024-12-31 19:18:14
Как решить пример с многоточиями: 1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + 4 × 5 + ... + 2023 × 2024?
Математика 11 класс Суммы и последовательности многоточия пример с многоточиями решение примера математика 11 класс последовательности арифметическая прогрессия умножение и сложение математические задачи решение задач по математике
2024-12-31 19:18:40
Чтобы решить пример с многоточиями: 1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + 4 × 5 + ... + 2023 × 2024, мы можем воспользоваться формулой для суммы произведений последовательных чисел.
Обозначим сумму, которую нам нужно найти, как S:
S = 1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + ... + 2023 × 2024
Каждый член суммы можно записать в виде:
n × (n + 1)
где n – это последовательные натуральные числа от 1 до 2023.
Теперь мы можем переписать S как:
S = Σ (n × (n + 1)), где n = 1 до 2023.
Раскроем скобки:
S = Σ (n² + n)
Теперь мы можем разделить сумму на две части:
S = Σ n² + Σ n
Теперь найдем каждую из этих сумм отдельно:
- Сумма квадратов:
- Сумма натуральных чисел:
Сумма квадратов первых n натуральных чисел дается формулой:
Σ n² = n(n + 1)(2n + 1) / 6
Подставим n = 2023:
Σ n² = 2023 × 2024 × 4047 / 6
Сумма первых n натуральных чисел дается формулой:
Σ n = n(n + 1) / 2
Подставим n = 2023:
Σ n = 2023 × 2024 / 2
Теперь подставим полученные значения обратно в S:
S = (2023 × 2024 × 4047 / 6) + (2023 × 2024 / 2)
Чтобы сложить эти два выражения, приведем их к общему знаменателю, который равен 6:
S = (2023 × 2024 × 4047 / 6) + (3 × 2023 × 2024 / 6)
S = (2023 × 2024 × (4047 + 3)) / 6
S = (2023 × 2024 × 4050) / 6
Теперь можно произвести окончательные вычисления, чтобы найти значение S:
S = 2023 × 2024 × 675
Таким образом, сумма 1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + ... + 2023 × 2024 равна 2023 × 2024 × 675.
